Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê Toán - Chương 5: Luật số lớn - Phạm Thị Hồng Thắm

c P (|X − E (X )| ≥ ε) ≤ V (X ) ε2 BẤT ĐẲNG THỨC TRÊBƯSEP Ý nghĩa Về mặt lý thuyết, bất đẳng thức được dùng để chứng minh các định lý của luật số lớn. Về mặt thực tiễn, bất đẳng thức chỉ cho phép đánh giá cận trên và cận dưới của xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kì vọng toán của nó. Điều kiện áp dụng Nếu chỉ cần đánh giá cận trên và cận dưới của xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kì vọng toán của nó. Nếu không biết quy luật phân phối xác suất của X. BẤT ĐẲNG THỨC TRÊBƯSEP Ý nghĩa Về mặt lý thuyết, bất đẳng thức được dùng để chứng minh các định lý của luật số lớn. Về mặt thực tiễn, bất đẳng thức chỉ cho phép đánh giá cận trên và cận dưới của xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kì vọng toán của nó. Điều kiện áp dụng Nếu chỉ cần đánh giá cận trên và cận dưới của xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kì vọng toán của nó. Nếu không biết quy luật phân phối xác suất của X. BẤT ĐẲNG THỨC TRÊBƯSEP Ý nghĩa Về mặt lý thuyết, bất đẳng thức được dùng để chứng minh các định lý của luật số lớn. Về mặt thực tiễn, bất đẳng thức chỉ cho phép đánh giá cận trên và cận dưới của xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kì vọng toán của nó. Điều kiện áp dụng Nếu chỉ cần đánh giá cận trên và cận dưới của xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kì vọng toán của nó. Nếu không biết quy luật phân phối xác suất của X. BẤT ĐẲNG THỨC TRÊBƯSEP Ý nghĩa Về mặt lý thuyết, bất đẳng thức được dùng để chứng minh các định lý của luật số lớn. Về mặt thực tiễn, bất đẳng thức chỉ cho phép đánh giá cận trên và cận dưới của xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kì vọng toán của nó. Điều kiện áp dụng Nếu chỉ cần đánh giá cận trên và cận dưới của xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kì vọng toán của nó. Nếu không biết quy luật phân phối xác suất của X. BẤT ĐẲNG THỨC TRÊBƯSEP Ý nghĩa Về mặt lý thuyết, bất đẳng thức được dùng để chứng minh các định lý của luật số lớn. Về mặt thực tiễn, bất đẳng thức chỉ cho phép đánh giá cận trên và cận dưới của xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kì vọng toán của nó. Điều kiện áp dụng Nếu chỉ cần đánh giá cận trên và cận dưới của xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kì vọng toán của nó. Nếu không biết quy luật phân phối xác suất của X. BẤT ĐẲNG THỨC TRÊBƯSEP Ý nghĩa Về mặt lý thuyết, bất đẳng thức được dùng để chứng minh các định lý của luật số lớn. Về mặt thực tiễn, bất đẳng thức chỉ cho phép đánh giá cận trên và cận dưới của xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kì vọng toán của nó. Điều kiện áp dụng Nếu chỉ cần đánh giá cận trên và cận dưới của xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kì vọng toán của nó. Nếu không biết quy luật phân phối xác suất của X. BẤT ĐẲNG THỨC TRÊBƯSEP Ví dụ Thu nhập trung bình hàng năm của dân cư một vùng là 20 triệu đồng và độ lệch chuẩn là 1,5 triệu. Hãy xác định một khoảng thu nhập hàng năm xung quanh giá trị trung bình của ít nhất 90% dân cư vùng đó. BẤT ĐẲNG THỨC TRÊBƯSEP Ví dụ Gọi X là thu nhập hàng năm dân cư vùng đó. Theo đầu bài ta có: E (X) = 20; V(X) = 1, 52. Theo bất đẳng thức Trêbưsep: P (|X − E (X )| < ε ) ≥ 1− V (X ) ε2 → P (|X − 20| < ε) ≥ 1−1, 5 2 ε2 = 0, 9→ ε = 4, 743 Vậy ít nhất 90% dân cư vùng đó có thu nhập nằm trong khoảng (15,257; 24,473). ĐỊNH LÍ TRÊBƯSEP Định lý Nếu các biến ngẫu nhiên X1, X2. . . , Xn độc lập từng đôi, có các kì vọng toán hữu hạn và các phương sai đều bị chặn trên thì với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có: lim n→∞ P (∣∣∣∣X1 + X2 + ... + Xnn − E (X1) + ... + E (Xn)n ∣∣∣∣ < ε) = 1 ĐỊNH LÍ TRÊBƯSEP Định lý Nếu các biến ngẫu nhiên X1, X2. . . , Xn độc lập từng đôi, có các kì vọng toán hữu hạn và các phương sai đều bị chặn trên thì với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có: lim n→∞ P (∣∣∣∣X1 + X2 + ... + Xnn − E (X1) + ... + E (Xn)n ∣∣∣∣ < ε) = 1 ĐỊNH LÍ TRÊBƯSEP Bản chất: Định lí Trêbưsep chứng minh sự hội tụ theo xác suất của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên về trung bình số học của các kì vọng toán tương ứng, tức là nó chứng minh tính ổn định của giá trị trung bình. Ý nghĩa: Là cơ sở của phép đo lường trong thực tế. Chẳng hạn để đo giá trị của một đại lượng vật lí nào đó, người ta thường tiến hành đo n lần và lấy trung bình số học của các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo. Là cơ sở của phương pháp mẫu trong thống kê. ĐỊNH LÍ TRÊBƯSEP Bản chất: Định lí Trêbưsep chứng minh sự hội tụ theo xác suất của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên về trung bình số học của các kì vọng toán tương ứng, tức là nó chứng minh tính ổn định của giá trị trung bình. Ý nghĩa: Là cơ sở của phép đo lường trong thực tế. Chẳng hạn để đo giá trị của một đại lượng vật lí nào đó, người ta thường tiến hành đo n lần và lấy trung bình số học của các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo. Là cơ sở của phương pháp mẫu trong thống kê. ĐỊNH LÍ TRÊBƯSEP Bản chất: Định lí Trêbưsep chứng minh sự hội tụ theo xác suất của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên về trung bình số học của các kì vọng toán tương ứng, tức là nó chứng minh tính ổn định của giá trị trung bình. Ý nghĩa: Là cơ sở của phép đo lường trong thực tế. Chẳng hạn để đo giá trị của một đại lượng vật lí nào đó, người ta thường tiến hành đo n lần và lấy trung bình số học của các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo. Là cơ sở của phương pháp mẫu trong thống kê. ĐỊNH LÍ TRÊBƯSEP Bản chất: Định lí Trêbưsep chứng minh sự hội tụ theo xác suất của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên về trung bình số học của các kì vọng toán tương ứng, tức là nó chứng minh tính ổn định của giá trị trung bình. Ý nghĩa: Là cơ sở của phép đo lường trong thực tế. Chẳng hạn để đo giá trị của một đại lượng vật lí nào đó, người ta thường tiến hành đo n lần và lấy trung bình số học của các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo. Là cơ sở của phương pháp mẫu trong thống kê. ĐỊNH LÍ TRÊBƯSEP Bản chất: Định lí Trêbưsep chứng minh sự hội tụ theo xác suất của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên về trung bình số học của các kì vọng toán tương ứng, tức là nó chứng minh tính ổn định của giá trị trung bình. Ý nghĩa: Là cơ sở của phép đo lường trong thực tế. Chẳng hạn để đo giá trị của một đại lượng vật lí nào đó, người ta thường tiến hành đo n lần và lấy trung bình số học của các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo. Là cơ sở của phương pháp mẫu trong thống kê. ĐỊNH LÍ TRÊBƯSEP Bản chất: Định lí Trêbưsep chứng minh sự hội tụ theo xác suất của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên về trung bình số học của các kì vọng toán tương ứng, tức là nó chứng minh tính ổn định của giá trị trung bình. Ý nghĩa: Là cơ sở của phép đo lường trong thực tế. Chẳng hạn để đo giá trị của một đại lượng vật lí nào đó, người ta thường tiến hành đo n lần và lấy trung bình số học của các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo. Là cơ sở của phương pháp mẫu trong thống kê. ĐỊNH LÝ BERNOULLI Định lý Nếu f là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập và p là xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử thì∀ ε > 0 tùy ý, ta luôn có lim n→∞ P (|f − p| < ε) = 1 ĐỊNH LÝ BERNOULLI Định lý Nếu f là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập và p là xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử thì∀ ε > 0 tùy ý, ta luôn có lim n→∞ P (|f − p| < ε) = 1 ĐỊNH LÝ BERNOULLI Bản chất: Định lý Bernoulli chứng minh sự hội tụ theo xác suất của tần suất xuất hiện biến cố trong mỗi phép thử. Nói cách khác, nó chứng minh sự ổn định của giá trị tần suất. Ý nghĩa: Là cơ sở của định nghĩa thống kê về xác suất f −→ n→∞ p ⇔ n đủ lớn: p ≈ f. ĐỊNH LÝ BERNOULLI Bản chất: Định lý Bernoulli chứng minh sự hội tụ theo xác suất của tần suất xuất hiện biến cố trong mỗi phép thử. Nói cách khác, nó chứng minh sự ổn định của giá trị tần suất. Ý nghĩa: Là cơ sở của định nghĩa thống kê về xác suất f −→ n→∞ p ⇔ n đủ lớn: p ≈ f. ĐỊNH LÝ BERNOULLI Bản chất: Định lý Bernoulli chứng minh sự hội tụ theo xác suất của tần suất xuất hiện biến cố trong mỗi phép thử. Nói cách khác, nó chứng minh sự ổn định của giá trị tần suất. Ý nghĩa: Là cơ sở của định nghĩa thống kê về xác suất f −→ n→∞ p ⇔ n đủ lớn: p ≈ f. ĐỊNH LÝ BERNOULLI Bản chất: Định lý Bernoulli chứng minh sự hội tụ theo xác suất của tần suất xuất hiện biến cố trong mỗi phép thử. Nói cách khác, nó chứng minh sự ổn định của giá trị tần suất. Ý nghĩa: Là cơ sở của định nghĩa thống kê về xác suất f −→ n→∞ p ⇔ n đủ lớn: p ≈ f. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định lý (Định lý Lindenberg-Lewi) Nếu X1,X2, . . . ,Xn, . . . là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng tuân theo một quy luật phân phối xác suất nào đó với kì vọng toán và phương sai hữu hạn: E (Xk) = a;V (Xk) = σ 2; ∀k, thì quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Ucn = Un − E (Un)√ V (Un với Un = n∑ k=1 Xk sẽ hội tụ tới quy luật chuẩn hóa N(0,1).