Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê Toán - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều - Phạm Thị Hồng Thắm

c. KHÁI NIỆM Định nghĩa Hai biến ngẫu nhiên một chiều được xét một cách đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên 2 chiều, kí hiệu (X, Y) Ví dụ Thu nhập và tiêu dùng; Chiều dài và chiều rộng của một sản phẩm. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu mỗi thành phần của nó là một biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc. KHÁI NIỆM Định nghĩa Hai biến ngẫu nhiên một chiều được xét một cách đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên 2 chiều, kí hiệu (X, Y) Ví dụ Thu nhập và tiêu dùng; Chiều dài và chiều rộng của một sản phẩm. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu mỗi thành phần của nó là một biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc. KHÁI NIỆM Định nghĩa Hai biến ngẫu nhiên một chiều được xét một cách đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên 2 chiều, kí hiệu (X, Y) Ví dụ Thu nhập và tiêu dùng; Chiều dài và chiều rộng của một sản phẩm. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu mỗi thành phần của nó là một biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC Bảng phân phối xác suất đồng thời Bảng phân phối xác suất biên Bảng phân phối xác suất có điều kiện Bảng phân phối xác suất đồng thời Là một hình chữ nhật, liệt kê các giá trị có thể có của X, Y và các xác suất tương ứng. y1 y2 . . . ym p(xi ) x1 p(x1, y1) p(x1, y2) . . . p(x1, ym) p(x1) x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn p(xn, y1) p(xn, y2) . . . p(xn, ym) p(xn) p(yi ) p(y1) p(y2) . . . p(ym) 1 Trong đó p(xi , yj) = P(X = xi ; Y = yj) ≥ 0, ∀ i, j, và∑n i=1 ∑m j=1 p(xi , yj) = 1 Ý nghĩa. Bảng phân xác suất đồng thời phản ánh phân phối xác suất theo cả 2 thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều. Bảng phân phối xác suất đồng thời Là một hình chữ nhật, liệt kê các giá trị có thể có của X, Y và các xác suất tương ứng. y1 y2 . . . ym p(xi ) x1 p(x1, y1) p(x1, y2) . . . p(x1, ym) p(x1) x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn p(xn, y1) p(xn, y2) . . . p(xn, ym) p(xn) p(yi ) p(y1) p(y2) . . . p(ym) 1 Trong đó p(xi , yj) = P(X = xi ; Y = yj) ≥ 0, ∀ i, j, và∑n i=1 ∑m j=1 p(xi , yj) = 1 Ý nghĩa. Bảng phân xác suất đồng thời phản ánh phân phối xác suất theo cả 2 thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều. Bảng phân phối xác suất biên Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ nhất X: X x1 x2 . . . xn Px p(x1) p(x2) . . . p(xn) trong đó p(xi ) = ∑m j=1 p(xi , yj), ∀i được gọi là xác suất biên của thành phần X và ∑n i=1 p(xi ) = 1 Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ hai Y: Y y1 y2 . . . ym Py p(y1) p(y2) . . . p(ym) trong đó p(yj) = ∑n i=1 p(xi , yj) được gọi là xác suất biên của thành phần Y và ∑m j=1 p(yj) = 1 Bảng phân phối xác suất biên Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ nhất X: X x1 x2 . . . xn Px p(x1) p(x2) . . . p(xn) trong đó p(xi ) = ∑m j=1 p(xi , yj), ∀i được gọi là xác suất biên của thành phần X và ∑n i=1 p(xi ) = 1 Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ hai Y: Y y1 y2 . . . ym Py p(y1) p(y2) . . . p(ym) trong đó p(yj) = ∑n i=1 p(xi , yj) được gọi là xác suất biên của thành phần Y và ∑m j=1 p(yj) = 1 Bảng phân phối xác suất biên Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ nhất X: X x1 x2 . . . xn Px p(x1) p(x2) . . . p(xn) trong đó p(xi ) = ∑m j=1 p(xi , yj), ∀i được gọi là xác suất biên của thành phần X và ∑n i=1 p(xi ) = 1 Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ hai Y: Y y1 y2 . . . ym Py p(y1) p(y2) . . . p(ym) trong đó p(yj) = ∑n i=1 p(xi , yj) được gọi là xác suất biên của thành phần Y và ∑m j=1 p(yj) = 1 Bảng phân phối xác suất biên Ý nghĩa. Các phân phối xác suất biên phản ánh phân phối xác suất của từng thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều. Chú ý. Cần và đủ để X và Y độc lập là p(xi , yi ) = p(xi ) p(yi ), ∀i, j Bảng phân phối xác suất biên Ý nghĩa. Các phân phối xác suất biên phản ánh phân phối xác suất của từng thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều. Chú ý. Cần và đủ để X và Y độc lập là p(xi , yi ) = p(xi ) p(yi ), ∀i, j Bảng phân phối xác suất biên Ý nghĩa. Các phân phối xác suất biên phản ánh phân phối xác suất của từng thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều. Chú ý. Cần và đủ để X và Y độc lập là p(xi , yi ) = p(xi ) p(yi ), ∀i, j Bảng phân phối xác suất biên Ý nghĩa. Các phân phối xác suất biên phản ánh phân phối xác suất của từng thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều. Chú ý. Cần và đủ để X và Y độc lập là p(xi , yi ) = p(xi ) p(yi ), ∀i, j Bảng phân phối xác suất có điều kiện X/Y = yj x1 x2 . . . xn p(x1/yj) p(x2/yj) . . . p(xn/yj) p(xi/yj) = p(xi , yj) p(yj) , ∀i ,j ; n∑ i=1 p(xi/yj) = 1 Y /X = xi y1 y2 . . . ym p(y1/xi ) p(y2/xi ) . . . p(ym/xi ) p(yj/xi ) = p(xi , yj) p(xi ) , ∀i ,j ; m∑ j=1 p(yj/xi ) = 1 Ý nghĩa. Các phân phối xác suất có điều kiện phản ánh phân phối xác suất của một thành phần tương ứng với mỗi giá trị xác định của thành phần kia. Bảng phân phối xác suất có điều kiện X/Y = yj x1 x2 . . . xn p(x1/yj) p(x2/yj) . . . p(xn/yj) p(xi/yj) = p(xi , yj) p(yj) , ∀i ,j ; n∑ i=1 p(xi/yj) = 1 Y /X = xi y1 y2 . . . ym p(y1/xi ) p(y2/xi ) . . . p(ym/xi ) p(yj/xi ) = p(xi , yj) p(xi ) , ∀i ,j ; m∑ j=1 p(yj/xi ) = 1 Ý nghĩa. Các phân phối xác suất có điều kiện phản ánh phân phối xác suất của một thành phần tương ứng với mỗi giá trị xác định của thành phần kia. Bảng phân phối xác suất có điều kiện X/Y = yj x1 x2 . . . xn p(x1/yj) p(x2/yj) . . . p(xn/yj) p(xi/yj) = p(xi , yj) p(yj) , ∀i ,j ; n∑ i=1 p(xi/yj) = 1 Y /X = xi y1 y2 . . . ym p(y1/xi ) p(y2/xi ) . . . p(ym/xi ) p(yj/xi ) = p(xi , yj) p(xi ) , ∀i ,j ; m∑ j=1 p(yj/xi ) = 1 Ý nghĩa. Các phân phối xác suất có điều kiện phản ánh phân phối xác suất của một thành phần tương ứng với mỗi giá trị xác định của thành phần kia. Bảng phân phối xác suất có điều kiện X/Y = yj x1 x2 . . . xn p(x1/yj) p(x2/yj) . . . p(xn/yj) p(xi/yj) = p(xi , yj) p(yj) , ∀i ,j ; n∑ i=1 p(xi/yj) = 1 Y /X = xi y1 y2 . . . ym p(y1/xi ) p(y2/xi ) . . . p(ym/xi ) p(yj/xi ) = p(xi , yj) p(xi ) , ∀i ,j ; m∑ j=1 p(yj/xi ) = 1 Ý nghĩa. Các phân phối xác suất có điều kiện phản ánh phân phối xác suất của một thành phần tương ứng với mỗi giá trị xác định của thành phần kia. Ví dụ Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 6 bi trắng và 4 bi đỏ, hộp 2 có 5 bi trắng và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, rồi từ hộp 2 lấy ra một viên bi. Gọi X là số bi đỏ được lấy ra từ hộp 1, Y là số bi đỏ được lấy ra từ hộp 2. a)Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y. b) Lập bảng phân phối xác suất biên của X và Y. c) Lập bảng phân phối xác suất của số bi đỏ được lấy ra từ hộp 1 biết rằng viên bi lấy ra từ hộp 2 có màu đỏ. Ví dụ Các giá trị có thể của X = {0;1;2} và Y = {0; 1}. Ta có P(X = 0,Y = 0) = P(X = 0).P(Y = 0/X = 0) = C 26 C 210 · 7 12 = 105 540 P(X = 0,Y = 1) = P(X = 0).P(Y = 1/X = 0) = C 26 C 210 · 5 12 = 75 540 Tương tự P(X = 1,Y = 0) = 144 540 ; P(X = 1,Y = 1) = 144 540 P(X = 2,Y = 0) = 30 540 ;P(X = 2,Y = 1) = 42 540 Ví dụ a) Bảng phân phối xác suất của đồng thời X và Y: 0 1 0 105540 75 540 1 144540 144 540 2 30540 42 540 Ví dụ b) Bảng phân phối xác suất biên của X và Y X 0 1 2 180 540 288 540 72 540 Y 0 1 279 540 261 540 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC Kì vọng toán Phương sai Kì vọng toán có điều kiện Hàm hồi quy Hiệp phương sai Hệ số tương quan CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC Kì vọng toán Phương sai Kì vọng toán có điều kiện Hàm hồi quy Hiệp phương sai Hệ số tương quan Kì vọng toán E (X ) = n∑ i=1 xip(xi );E (Y ) = m∑ j = 1 yjp(yj) Ý nghĩa. Các kì vọng toán phản ánh giá trị trung bình của mỗi thành phần của biến ngẫu nhiên hai chiều. Kì vọng toán E (X ) = n∑ i=1 xip(xi );E (Y ) = m∑ j = 1 yjp(yj) Ý nghĩa. Các kì vọng toán phản ánh giá trị trung bình của mỗi thành phần của biến ngẫu nhiên hai chiều. Kì vọng toán E (X ) = n∑ i=1 xip(xi );E (Y ) = m∑ j = 1 yjp(yj) Ý nghĩa. Các kì vọng toán phản ánh giá trị trung bình của mỗi thành phần của biến ngẫu nhiên hai chiều. Phương sai V (X ) = n∑ i=1 x2i p(xi )− (E (X ))2 → σX = √ V (X ) V (Y ) = m∑ j=1 y2j p(yj)− (E (Y ))2 → σY = √ V (Y ) Phương sai V (X ) = n∑ i=1 x2i p(xi )− (E (X ))2 → σX = √ V (X ) V (Y ) = m∑ j=1 y2j p(yj)− (E (Y ))2 → σY = √ V (Y ) Kì vọng toán có điều kiện E(X/Y = yj) = ∑n i=1 xip(xi/yj), j = 1,m , là kỳ vọng toán có điều kiện của X khi Y = yi E(Y/X = xi)= ∑m j=1 yjp(yj/xi ), i = 1, n, là kỳ vọng toán có điều kiện của Y khi X = xi Kì vọng toán có điều kiện E(X/Y = yj) = ∑n i=1 xip(xi/yj), j = 1,m , là kỳ vọng toán có điều kiện của X khi Y = yi E(Y/X = xi)= ∑m j=1 yjp(yj/xi ), i = 1, n, là kỳ vọng toán có điều kiện của Y khi X = xi Kì vọng toán có điều kiện E(X/Y = yj) = ∑n i=1 xip(xi/yj), j = 1,m , là kỳ vọng toán có điều kiện của X khi Y = yi E(Y/X = xi)= ∑m j=1 yjp(yj/xi ), i = 1, n, là kỳ vọng toán có điều kiện của Y khi X = xi Hàm hồi quy Định nghĩa f (yj) = E (X/Y = yj), j = 1, . . . ,m f (xi ) = E (Y /X = xi ), i = 1, . . . , n được gọi là các hàm hồi quy của X đối với Y và của Y đối với X. Ý nghĩa. Các hàm hồi quy phản ánh sự phụ thuộc của giá trị trung bình của một thành phần vào sự thay đổi của thành phần kia. Đó là hai mặt của sự phụ thuộc tương quan giữa X và Y. Hàm hồi quy Định nghĩa f (yj) = E (X/Y = yj), j = 1, . . . ,m f (xi ) = E (Y /X = xi ), i = 1, . . . , n được gọi là các hàm hồi quy của X đối với Y và của Y đối với X. Ý nghĩa. Các hàm hồi quy phản ánh sự phụ thuộc của giá trị trung bình của một thành phần vào sự thay đổi của thành phần kia. Đó là hai mặt của sự phụ thuộc tương quan giữa X và Y. Hàm hồi quy Định nghĩa f (yj) = E (X/Y = yj), j = 1, . . . ,m f (xi ) = E (Y /X = xi ), i = 1, . . . , n được gọi là các hàm hồi quy của X đối với Y và của Y đối với X. Ý nghĩa. Các hàm hồi quy phản ánh sự phụ thuộc của giá trị trung bình của một thành phần vào sự thay đổi của thành phần kia. Đó là hai mặt của sự phụ thuộc tương quan giữa X và Y. Hiệp phương sai Hiệp phương sai giữa X và Y được tính bằng công thức: Cov(X ,Y ) = E ((X − EX )(Y − EY )) = E (XY )− E (X )E (Y ) trong đó E (XY ) = ∑n i=1 ∑m j=1 xiyjp(xi , yj) Ý nghĩa. Hiệp phương sai đo mức độ chặt chẽ của sự phụ thuộc giữa X và Y. Chú ý. V (aX ± bY ) = a2V (X ) + b2V (Y )± 2abCov(X ,Y ) Hiệp phương sai Hiệp phương sai giữa X và Y được tính bằng công thức: Cov(X ,Y ) = E ((X − EX )(Y − EY )) = E (XY )− E (X )E (Y ) trong đó E (XY ) = ∑n i=1 ∑m j=1 xiyjp(xi , yj) Ý nghĩa. Hiệp phương sai đo mức độ chặt chẽ của sự phụ thuộc giữa X và Y. Chú ý. V (aX ± bY ) = a2V (X ) + b2V (Y )± 2abCov(X ,Y ) Hiệp phương sai Hiệp phương sai giữa X và Y được tính bằng công thức: Cov(X ,Y ) = E ((X − EX )(Y − EY )) = E (XY )− E (X )E (Y ) trong đó E (XY ) = ∑n i=1 ∑m j=1 xiyjp(xi , yj) Ý nghĩa. Hiệp phương sai đo mức độ chặt chẽ của sự phụ thuộc giữa X và Y. Chú ý. V (aX ± bY ) = a2V (X ) + b2V (Y )± 2abCov(X ,Y ) Hiệp phương sai Hiệp phương sai giữa X và Y được tính bằng công thức: Cov(X ,Y ) = E ((X − EX )(Y − EY )) = E (XY )− E (X )E (Y ) trong đó E (XY ) = ∑n i=1 ∑m j=1 xiyjp(xi , yj) Ý nghĩa. Hiệp phương sai đo mức độ chặt chẽ của sự phụ thuộc giữa X và Y. Chú ý. V (aX ± bY ) = a2V (X ) + b2V (Y )± 2abCov(X ,Y ) Hệ số tương quan ρXY = Cov(X ,Y ) σX .σY Tính chất ρXY = ρYX −1 ≤ ρXY ≤ 1 Nếu ρXY = ±1: X và Y phụ thuộc hàm số với nhau Nếu X và Y độc lập thì ρXY = 0 Chú ý: ρXY > 0: X và Y tương quan dương; ρXY < 0: X và Y tương quan âm. |ρXY | > 0, 5 : Sự phụ thuộc tương quan giữa X và Y được xem là chặt chẽ. Hệ số tương quan ρXY = Cov(X ,Y ) σX .σY Tính chất ρXY = ρYX −1 ≤ ρXY ≤ 1 Nếu ρXY = ±1: X và Y phụ thuộc hàm số với nhau Nếu X và Y độc lập thì ρXY = 0 Chú ý: ρXY > 0: X và Y tương quan dương; ρXY < 0: X và Y tương quan âm. |ρXY | > 0, 5 : Sự phụ thuộc tương quan giữa X và Y được xem là chặt chẽ. Hệ số tương quan ρXY = Cov(X ,Y ) σX .σY Tính chất ρXY = ρYX −1 ≤ ρXY ≤ 1 Nếu ρXY = ±1: X và Y phụ thuộc hàm số với nhau Nếu X và Y độc lập thì ρXY = 0 Chú ý: ρXY > 0: X và Y tương quan dương; ρXY < 0: X và Y tương quan âm. |ρXY | > 0, 5 : Sự phụ thuộc tương quan giữa X và Y được xem là chặt chẽ. Ví dụ Thống kê những cặp vợ chồng theo hai chỉ tiêu: X – thu nhập của chồng (triệu đồng / tháng); Y – thu nhập của vợ (triệu đồng / tháng), thu được bảng số liệu sau: Y X 1 3 2 0,35 0,3 5 0,25 0,1 a) Tìm mức thu nhập trung bình của vợ tương ứng với mỗi mức thu nhập của chồng. b) Tìm hệ số tương quan và cho nhận xét. Ví dụ a) Bảng phân phối mức thu nhập của vợ khi chồng thu nhập 2 Y/X = 2 1 3 0,35 0,65 0,3 0,65 → E (Y /X = 2) = 0, 35+ 3.0, 3 0, 65 = 1, 923 Tương tự, E (Y /X = 5) = 0, 55 0, 35 = 1, 5714 Ví dụ b) X Y 1 3 p(xi) 2 0,35 0,3 0,65 0,7 1,8 5 0,25 0,1 0,35 1,25 1,5 p(yj) 0,6 0,4 E(X) = 2.0,65 + 5.0,35 = 3,05; V(X) =2,0475; σX = 1,43 E(Y) = 1,8; V(Y) = 0,96; σY = 0,98 Cov (X,Y) = 5,25 - 3,05.1,8 = -0,24 ρXY = −0, 24 1, 43.0, 98 = −0, 17 < 0 Kết luận: X và Y nghịch biến; Y phụ thuộc không chặt chẽ vào X;