Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê Toán - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng - Phạm Thị Hồng Thắm

rên, ta thấy các giá trị có thể có của X là 0;1 với các xác suất tương ứng là 0,6 và 0,4. Tổng quát: Giả sử tiến hành một phép thử trong đó biến cố A có thể xảy ra với xác suất p. Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong phép thử đó thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc với 2 giá trị có thể là 0 hoặc 1, với xác suất tương ứng là P(X = 0) = P(A¯) = 1− p và P(X = 1) = P(A) = p QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p) Ví dụ Một hộp có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Gọi A:"Lấy được phế phẩm". Ta có: P(A) = 0, 4 Gọi X là số phế phẩm được lấy ra, tức là số lần biến cố A xuất hiện trong phép thử trên, ta thấy các giá trị có thể có của X là 0;1 với các xác suất tương ứng là 0,6 và 0,4. Tổng quát: Giả sử tiến hành một phép thử trong đó biến cố A có thể xảy ra với xác suất p. Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong phép thử đó thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc với 2 giá trị có thể là 0 hoặc 1, với xác suất tương ứng là P(X = 0) = P(A¯) = 1− p và P(X = 1) = P(A) = p QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p) Ví dụ Một hộp có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Gọi A:"Lấy được phế phẩm". Ta có: P(A) = 0, 4 Gọi X là số phế phẩm được lấy ra, tức là số lần biến cố A xuất hiện trong phép thử trên, ta thấy các giá trị có thể có của X là 0;1 với các xác suất tương ứng là 0,6 và 0,4. Tổng quát: Giả sử tiến hành một phép thử trong đó biến cố A có thể xảy ra với xác suất p. Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong phép thử đó thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc với 2 giá trị có thể là 0 hoặc 1, với xác suất tương ứng là P(X = 0) = P(A¯) = 1− p và P(X = 1) = P(A) = p QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có bằng 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là 1− p và p gọi là tuân theo quy luật không - một với tham số p. Kí hiệu: X ∼ A(p) Bảng phân phối xác suất của X X 0 1 Px 1-p p Các tham số đặc trưng: E(X) = p; V(X) = p(1-p) QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có bằng 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là 1− p và p gọi là tuân theo quy luật không - một với tham số p. Kí hiệu: X ∼ A(p) Bảng phân phối xác suất của X X 0 1 Px 1-p p Các tham số đặc trưng: E(X) = p; V(X) = p(1-p) QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có bằng 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là 1− p và p gọi là tuân theo quy luật không - một với tham số p. Kí hiệu: X ∼ A(p) Bảng phân phối xác suất của X X 0 1 Px 1-p p Các tham số đặc trưng: E(X) = p; V(X) = p(1-p) QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có bằng 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là 1− p và p gọi là tuân theo quy luật không - một với tham số p. Kí hiệu: X ∼ A(p) Bảng phân phối xác suất của X X 0 1 Px 1-p p Các tham số đặc trưng: E(X) = p; V(X) = p(1-p) QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có bằng 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là 1− p và p gọi là tuân theo quy luật không - một với tham số p. Kí hiệu: X ∼ A(p) Bảng phân phối xác suất của X X 0 1 Px 1-p p Các tham số đặc trưng: E(X) = p; V(X) = p(1-p) QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p) Điều kiện áp dụng: Trong thực tế, quy luật 0-1 được dùng để đặc trưng cho các dấu hiệu nghiên cứu định tính với hai phạm trù luân phiên.(Giới tính - nam/nữ; Sở thích - thích/ không thích; Ý kiến - ủng hộ/phản đối . . . ) Đặc điểm cơ bản: Kỳ vọng toán phản ánh cơ cấu vì E(X) = p. QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p) Điều kiện áp dụng: Trong thực tế, quy luật 0-1 được dùng để đặc trưng cho các dấu hiệu nghiên cứu định tính với hai phạm trù luân phiên.(Giới tính - nam/nữ; Sở thích - thích/ không thích; Ý kiến - ủng hộ/phản đối . . . ) Đặc điểm cơ bản: Kỳ vọng toán phản ánh cơ cấu vì E(X) = p. QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Giả sử có một lược đồ Bernoulli, gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập đó, X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị: 0, 1, . . . , n, với các xác suất tương ứng được tính bởi công thức: Px = P(X = x) = C x n p x (1− p)n−x , x = 0, 1, . . . , n QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Giả sử có một lược đồ Bernoulli, gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập đó, X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị: 0, 1, . . . , n, với các xác suất tương ứng được tính bởi công thức: Px = P(X = x) = C x n p x (1− p)n−x , x = 0, 1, . . . , n QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0, 1, . . . , n với xác suất tương ứng được tính bằng công thức Px = P(X = x) = C x n p x (1− p)n−x , x = 0, 1, . . . , n gọi là phân phối theo quy luật nhị thức với tham số n và p. Kí hiệu: X ∼ B(n, p) + Bảng phân phối xác suất của X: X 0 . . . x . . . n Px C 0 np 0(1− p)n . . . C xn px(1− p)n−x . . . Cnn pn(1− p)0 QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0, 1, . . . , n với xác suất tương ứng được tính bằng công thức Px = P(X = x) = C x n p x (1− p)n−x , x = 0, 1, . . . , n gọi là phân phối theo quy luật nhị thức với tham số n và p. Kí hiệu: X ∼ B(n, p) + Bảng phân phối xác suất của X: X 0 . . . x . . . n Px C 0 np 0(1− p)n . . . C xn px(1− p)n−x . . . Cnn pn(1− p)0 QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [x; x+h]: P(x ≤ X ≤ x + h) = Px + · · ·+ Px+h Các giá trị Px có thể tra bảng: P(X = x) = P(Y = n - x), trong đó X ∼ B(n, p) và Y ∼ B(n, 1− p) Các tham số đặc trưng: E (X ) = np V (X ) = np(1− p)→ σx = √ np (1− p) np + p − 1 ≤ m0 ≤ np + p QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [x; x+h]: P(x ≤ X ≤ x + h) = Px + · · ·+ Px+h Các giá trị Px có thể tra bảng: P(X = x) = P(Y = n - x), trong đó X ∼ B(n, p) và Y ∼ B(n, 1− p) Các tham số đặc trưng: E (X ) = np V (X ) = np(1− p)→ σx = √ np (1− p) np + p − 1 ≤ m0 ≤ np + p QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [x; x+h]: P(x ≤ X ≤ x + h) = Px + · · ·+ Px+h Các giá trị Px có thể tra bảng: P(X = x) = P(Y = n - x), trong đó X ∼ B(n, p) và Y ∼ B(n, 1− p) Các tham số đặc trưng: E (X ) = np V (X ) = np(1− p)→ σx = √ np (1− p) np + p − 1 ≤ m0 ≤ np + p QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [x; x+h]: P(x ≤ X ≤ x + h) = Px + · · ·+ Px+h Các giá trị Px có thể tra bảng: P(X = x) = P(Y = n - x), trong đó X ∼ B(n, p) và Y ∼ B(n, 1− p) Các tham số đặc trưng: E (X ) = np V (X ) = np(1− p)→ σx = √ np (1− p) np + p − 1 ≤ m0 ≤ np + p QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [x; x+h]: P(x ≤ X ≤ x + h) = Px + · · ·+ Px+h Các giá trị Px có thể tra bảng: P(X = x) = P(Y = n - x), trong đó X ∼ B(n, p) và Y ∼ B(n, 1− p) Các tham số đặc trưng: E (X ) = np V (X ) = np(1− p)→ σx = √ np (1− p) np + p − 1 ≤ m0 ≤ np + p QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Điều kiện áp dụng quy luật nhị thức Trong thực tế, quy luật nhị thức được dùng nếu bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli. Nếu các biến ngẫu nhiên X1,X2, . . . ,Xn độc lập và cùng phân phối A(p) thì: X = n∑ i=1 Xi ∼ B(n, p) Nói khác đi, quy luật 0 - 1 là trường hợp riêng của quy luật nhị thức khi n = 1. Nếu các biến ngẫu nhiên U và V độc lập, U ∼ B(n1,p), V ∼ B(n2, p), thì X = U + V ∼ B (n1 + n2, p) QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Điều kiện áp dụng quy luật nhị thức Trong thực tế, quy luật nhị thức được dùng nếu bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli. Nếu các biến ngẫu nhiên X1,X2, . . . ,Xn độc lập và cùng phân phối A(p) thì: X = n∑ i=1 Xi ∼ B(n, p) Nói khác đi, quy luật 0 - 1 là trường hợp riêng của quy luật nhị thức khi n = 1. Nếu các biến ngẫu nhiên U và V độc lập, U ∼ B(n1,p), V ∼ B(n2, p), thì X = U + V ∼ B (n1 + n2, p) QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Điều kiện áp dụng quy luật nhị thức Trong thực tế, quy luật nhị thức được dùng nếu bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli. Nếu các biến ngẫu nhiên X1,X2, . . . ,Xn độc lập và cùng phân phối A(p) thì: X = n∑ i=1 Xi ∼ B(n, p) Nói khác đi, quy luật 0 - 1 là trường hợp riêng của quy luật nhị thức khi n = 1. Nếu các biến ngẫu nhiên U và V độc lập, U ∼ B(n1,p), V ∼ B(n2, p), thì X = U + V ∼ B (n1 + n2, p) QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Điều kiện áp dụng quy luật nhị thức Trong thực tế, quy luật nhị thức được dùng nếu bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli. Nếu các biến ngẫu nhiên X1,X2, . . . ,Xn độc lập và cùng phân phối A(p) thì: X = n∑ i=1 Xi ∼ B(n, p) Nói khác đi, quy luật 0 - 1 là trường hợp riêng của quy luật nhị thức khi n = 1. Nếu các biến ngẫu nhiên U và V độc lập, U ∼ B(n1,p), V ∼ B(n2, p), thì X = U + V ∼ B (n1 + n2, p) QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Ví dụ Một đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 5 lựa chọn trong đó chỉ có 1 đáp án đúng. Một học sinh dự thi bằng cách chọn ngẫu nhiên một đáp án cho mỗi câu hỏi. a. Tìm quy luật phân phối xác suất của số câu trả lời đúng. b. Mỗi câu trả lời đúng được 2 điểm, sai 0 điểm. Tính xác suất để học sinh đó được ít nhất 15 điểm. c. Tìm số điểm trung bình học sinh đó. QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Ví dụ a. Coi việc trả lời 1 câu hỏi của học sinh là 1 phép thử, ta có 10 phép thử độc lập và trong mỗi phép thử, biến cố “học sinh trả lời đúng” có thể xảy ra với xác suất luôn bằng 0,2. Gọi X là số câu trả lời đúng cho 10 câu hỏi. X ∼ B (10; 0,2). b. Học sinh đạt ít nhất 15 điểm nếu trả lời đúng ít nhất 8 câu. P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) c. E(2X) = 2.E(X) = 2 .10 .0,2 = 4. QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Ví dụ a. Coi việc trả lời 1 câu hỏi của học sinh là 1 phép thử, ta có 10 phép thử độc lập và trong mỗi phép thử, biến cố “học sinh trả lời đúng” có thể xảy ra với xác suất luôn bằng 0,2. Gọi X là số câu trả lời đúng cho 10 câu hỏi. X ∼ B (10; 0,2). b. Học sinh đạt ít nhất 15 điểm nếu trả lời đúng ít nhất 8 câu. P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) c. E(2X) = 2.E(X) = 2 .10 .0,2 = 4. QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Ví dụ a. Coi việc trả lời 1 câu hỏi của học sinh là 1 phép thử, ta có 10 phép thử độc lập và trong mỗi phép thử, biến cố “học sinh trả lời đúng” có thể xảy ra với xác suất luôn bằng 0,2. Gọi X là số câu trả lời đúng cho 10 câu hỏi. X ∼ B (10; 0,2). b. Học sinh đạt ít nhất 15 điểm nếu trả lời đúng ít nhất 8 câu. P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) c. E(2X) = 2.E(X) = 2 .10 .0,2 = 4. QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Ví dụ Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 15%. a. Cho máy đó sản xuất 5 sản phẩm. Tìm xác suất để được không quá 1 phế phẩm. b. Cho máy đó sản xuất 10 sản phẩm. Tìm xác suất để số chính phẩm sản xuất ra sai lệch so với số chính phẩm trung bình nhỏ hơn 1. c. Nếu mỗi đợt sản xuất trung bình muốn có 12 chính phẩm thì phải cho máy đó sản xuất bao nhiêu sản phẩm. QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Ví dụ a. Gọi X là số phế phẩm khi sản xuất 5 sản phẩm =⇒ X ∼ B (5; 0,15). P(0 ≤ X ≤ 1) = P0 + P1 = C 05 .0, 150.0, 855 + C 15 .0, 151.0, 854 = 0, 4437 + 0, 3915 = 0, 8352 b. Y: Số chính phẩm được sản xuất ra trong 10 sản phẩm. Y ∼ B(n =10; p=0,85) E(Y) = 10. 0,85 = 8,5 P (|Y - 8,5| < 1) = P (7,5 < Y < 9,5) = P8 + P9 = 0,6233 c. Giả sử phải sản xuất n sản phẩm. Gọi Z là số chính phẩm được sản xuất ra. Z ∼ B(n; p = 0,85). =⇒ E (Z ) = np = 0, 85.n = 12 =⇒ n = 12 0, 85 = 14, 1 =⇒ n = 15 QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Ví dụ a. Gọi X là số phế phẩm khi sản xuất 5 sản phẩm =⇒ X ∼ B (5; 0,15). P(0 ≤ X ≤ 1) = P0 + P1 = C 05 .0, 150.0, 855 + C 15 .0, 151.0, 854 = 0, 4437 + 0, 3915 = 0, 8352 b. Y: Số chính phẩm được sản xuất ra trong 10 sản phẩm. Y ∼ B(n =10; p=0,85) E(Y) = 10. 0,85 = 8,5 P (|Y - 8,5| < 1) = P (7,5 < Y < 9,5) = P8 + P9 = 0,6233 c. Giả sử phải sản xuất n sản phẩm. Gọi Z là số chính phẩm được sản xuất ra. Z ∼ B(n; p = 0,85). =⇒ E (Z ) = np = 0, 85.n = 12 =⇒ n = 12 0, 85 = 14, 1 =⇒ n = 15 QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Ví dụ a. Gọi X là số phế phẩm khi sản xuất 5 sản phẩm =⇒ X ∼ B (5; 0,15). P(0 ≤ X ≤ 1) = P0 + P1 = C 05 .0, 150.0, 855 + C 15 .0, 151.0, 854 = 0, 4437 + 0, 3915 = 0, 8352 b. Y: Số chính phẩm được sản xuất ra trong 10 sản phẩm. Y ∼ B(n =10; p=0,85) E(Y) = 10. 0,85 = 8,5 P (|Y - 8,5| < 1) = P (7,5 < Y < 9,5) = P8 + P9 = 0,6233 c. Giả sử phải sản xuất n sản phẩm. Gọi Z là số chính phẩm được sản xuất ra. Z ∼ B(n; p = 0,85). =⇒ E (Z ) = np = 0, 85.n = 12 =⇒ n = 12 0, 85 = 14, 1 =⇒ n = 15 QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Ví dụ Trong một phân xưởng có 50 máy dệt hoạt động độc lập với nhau.Xác suất để các máy bị hỏng là như nhau và bằng 0,07. a. Tìm quy luật phân bố xác suất của số máy hỏng trong một ca sản xuất. b. Xác suất để trong 1 ca sản xuất có trên 48 máy tốt? c. Trung bình có bao nhiêu máy tốt? d. Giả sử mỗi kĩ sư máy chỉ có khả năng sửa chữa kịp thời tối đa 2 máy bị hỏng trong 1 ca sản xuất. Hỏi nên bố trí bao nhiêu kĩ sư máy trực cho 1 ca sản xuất là hợp lí nhất? QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Ví dụ a. + A: "1 máy bị hỏng". + 50 máy hoạt động độc lập ⇐⇒ 50 phép thử độc lập. + X là số máy hỏng trong 1 ca sản xuất = số lần xảy ra biến cố A. Bài toán thoả mãn lược đồ Bernoulli, do đó X ∼ B(n = 50;p = 0,07). b. P(có trên 48 máy tốt) = P(X ≤1) = P(X = 0) + P(X = 1) c. Gọi Y là số máy tốt. Ta có Y ∼ B(n = 50; p = 0,93). E(Y) = n.p = 50.0,93 = 46,5 d. Ta phải tìm k sao cho P(X = k) = max. Ta có: 2,57 = np + p - 1 ≤ k ≤ np + p = 3,57. Vậy k = 3, suy ra nên bố trí 2 kĩ sư trực cho 1 ca sản xuất là hợp lí nhất. QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Ví dụ a. + A: "1 máy bị hỏng". + 50 máy hoạt động độc lập ⇐⇒ 50 phép thử độc lập. + X là số máy hỏng trong 1 ca sản xuất = số lần xảy ra biến cố A. Bài toán thoả mãn lược đồ Bernoulli, do đó X ∼ B(n = 50;p = 0,07). b. P(có trên 48 máy tốt) = P(X ≤1) = P(X = 0) + P(X = 1) c. Gọi Y là số máy tốt. Ta có Y ∼ B(n = 50; p = 0,93). E(Y) = n.p = 50.0,93 = 46,5 d. Ta phải tìm k sao cho P(X = k) = max. Ta có: 2,57 = np + p - 1 ≤ k ≤ np + p = 3,57. Vậy k = 3, suy ra nên bố trí 2 kĩ sư trực cho 1 ca sản xuất là hợp lí nhất. QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Ví dụ a. + A: "1 máy bị hỏng". + 50 máy hoạt động độc lập ⇐⇒ 50 phép thử độc lập. + X là số máy hỏng trong 1 ca sản xuất = số lần xảy ra biến cố A. Bài toán thoả mãn lược đồ Bernoulli, do đó X ∼ B(n = 50;p = 0,07). b. P(có trên 48 máy tốt) = P(X ≤1) = P(X = 0) + P(X = 1) c. Gọi Y là số máy tốt. Ta có Y ∼ B(n = 50; p = 0,93). E(Y) = n.p = 50.0,93 = 46,5 d. Ta phải tìm k sao cho P(X = k) = max. Ta có: 2,57 = np + p - 1 ≤ k ≤ np + p = 3,57. Vậy k = 3, suy ra nên bố trí 2 kĩ sư trực cho 1 ca sản xuất là hợp lí nhất. QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p) Ví dụ a. + A: "1 máy bị hỏng". + 50 máy hoạt động độc lập ⇐⇒ 50 phép thử độc lập. + X là số máy hỏng trong 1 ca sản xuất = số lần xảy ra biến cố A. Bài toán thoả mãn lược đồ Bernoulli, do đó X ∼ B(n = 50;p = 0,07). b. P(có trên 48 máy tốt) = P(X ≤1) = P(X = 0) + P(X = 1) c. Gọi Y là số máy tốt. Ta có Y ∼ B(n = 50; p = 0,93). E(Y) = n.p = 50.0,93 = 46,5 d. Ta phải tìm k sao cho P(X = k) = max. Ta có: 2,57 = np + p - 1 ≤ k ≤ np + p = 3,57. Vậy k = 3, suy ra nên bố trí 2 kĩ sư trực cho 1 ca sản xuất là hợp lí nhất. QUY LUẬT POISSON - P(λ) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có X = 0,1,... với xác suất tương ứng được tính bằng công thức PX = e −λ · λ x x! gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham số λ. Kí hiệu X ∼ P(λ) Các xác suất PX được tính sẵn thành bảng. QUY LUẬT POISSON - P(λ) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có X = 0,1,... với xác suất tương ứng được tính bằng công thức PX = e −λ · λ x x! gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham số λ. Kí hiệu X ∼ P(λ) Các xác suất PX được tính sẵn thành bảng. QUY LUẬT POISSON - P(λ) Các tham số đặc trưng E (X) = V (X) = λ λ-1 ≤ m0 ≤ λ Điều kiện áp dụng quy luật Poisson Trong thực tế, công thức Poisson có thể dùng thay cho công thức Bernoulli nếu thỏa mãn : p ≤ 0,1 và n ≥ 20. C xn p x(1− p)n−x ≈ e −λλx x! λ = np Nếu X1, X2 độc lập, X1 ∼ P(λ1), X2 ∼ P(λ2) thì X1 + X2 ∼ P(λ1 + λ2). QUY LUẬT POISSON - P(λ) Các tham số đặc trưng E (X) = V (X) = λ λ-1 ≤ m0 ≤ λ Điều kiện áp dụng quy luật Poisson Trong thực tế, công thức Poisson có thể dùng thay cho công thức Bernoulli nếu thỏa mãn : p ≤ 0,1 và n ≥ 20. C xn p x(1− p)n−x ≈ e −λλx x! λ = np Nếu X1, X2 độc lập, X1 ∼ P(λ1), X2 ∼ P(λ2) thì X1 + X2 ∼ P(λ1 + λ2). QUY LUẬT POISSON - P(λ) Các tham số đặc trưng E (X) = V (X) = λ λ-1 ≤ m0 ≤ λ Điều kiện áp dụng quy luật Poisson Trong thực tế, công thức Poisson có thể dùng thay cho công thức Bernoulli nếu thỏa mãn : p ≤ 0,1 và n ≥ 20. C xn p x(1− p)n−x ≈ e −λλx x! λ = np Nếu X1, X2 độc lập, X1 ∼ P(λ1), X2 ∼ P(λ2) thì X1 + X2 ∼ P(λ1 + λ2). QUY LUẬT POISSON - P(λ) Các tham số đặc trưng E (X) = V (X) = λ λ-1 ≤ m0 ≤ λ Điều kiện áp dụng quy luật Poisson Trong thực tế, công thức Poisson có thể dùng thay cho công thức Bernoulli nếu thỏa mãn : p ≤ 0,1 và n ≥ 20. C xn p x(1− p)n−x ≈ e −λλx x! λ = np Nếu X1, X2 độc lập, X1 ∼ P(λ1), X2 ∼ P(λ2) thì X1 + X2 ∼ P(λ1 + λ2). QUY LUẬT POISSON - P(λ) Các tham số đặc trưng E (X) = V (X) = λ λ-1 ≤ m0 ≤ λ Điều kiện áp dụng quy luật Poisson Trong thực tế, công thức Poisson có thể dùng thay cho công thức Bernoulli nếu thỏa mãn : p ≤ 0,1 và n ≥ 20. C xn p x(1− p)n−x ≈ e −λλx x! λ = np Nếu X1, X2 độc lập, X1 ∼ P(λ1), X2 ∼ P(λ2) thì X1 + X2 ∼ P(λ1 + λ2). QUY LUẬT POISSON - P(λ) Ví dụ Xác suất để 1 chai rượu bị vỡ trong khi vận chuyển là 0,0003. Người ta vận chuyển 2000 chai rượu. a) Tìm xác suất để có nhiều nhất 5 chai bị vỡ. b) Tìm số chai bị vỡ trung bình khi vận chuyển. c) Tìm số chai vỡ có khả năng xảy ra nhiều nhất khi vận chuyển. QUY LUẬT POISSON - P(λ) Ví dụ a) Gọi X là số chai rượu bị vỡ khi vận chuyển 2000 chai rượu X ∼ P (λ = 2000.0,0003 = 6) P(X ≤ 5) = P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 0,0025 + 0,0149 + 0,0446 + 0,0892 + 0,1339 + 0,1606 = 0,4457 b) E(X) = λ = 6 c) λ - 1 ≤ m0 ≤ λ → 5 ≤ m0 ≤ 6 → m0 = 5; 6 QUY LUẬT POISSON - P(λ) Ví dụ a) Gọi X là số chai rượu bị vỡ khi vận chuyển 2000 chai rượu X ∼ P (λ = 2000.0,0003 = 6) P(X ≤ 5) = P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 0,0025 + 0,0149 + 0,0446 + 0,0892 + 0,1339 + 0,1606 = 0,4457 b) E(X) = λ = 6 c) λ - 1 ≤ m0 ≤ λ → 5 ≤ m0 ≤ 6 → m0 = 5; 6 QUY LUẬT POISSON - P(λ) Ví dụ a) Gọi X là số chai rượu bị vỡ khi vận chuyển 2000 chai rượu X ∼ P (λ = 2000.0,0003 = 6) P(X ≤ 5) = P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 0,0025 + 0,0149 + 0,0446 + 0,0892 + 0,1339 + 0,1606 = 0,4457 b) E(X) = λ = 6 c) λ - 1 ≤ m0 ≤ λ → 5 ≤ m0 ≤ 6 → m0 = 5; 6 QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU - U(a,b) Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có thể nhận bất kì giá trị nào trên khoảng (a,b), a,b ∈ R và ứng với mỗi giá trị là một hàm mật độ xác suất như nhau thì X có phân phối đều. Khi đó, hàm mật độ xác suất f(x) = C, ∀x ∈ (a; b) → 1 = ∫ +∞ −∞ f (x)dx = ∫ a b Cdx = bC − aC → C = 1 b − a QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU - U(a,b) Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có thể nhận bất kì giá trị nào trên khoảng (a,b), a,b ∈ R và ứng với mỗi giá trị là một hàm mật độ xác suất như nhau thì X có phân phối đều. Khi đó, hàm mật độ xác suất f(x) = C, ∀x ∈ (a; b) → 1 = ∫ +∞ −∞ f (x)dx = ∫ a b Cdx = bC − aC → C = 1 b − a QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU - U(a,b) Định nghĩa Biễn ngẫu liên tục X gọi là phân phối theo quy luật đều trong khoảng (a,b) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: f (x) = { 1 b−a x ∈ (a, b) 0 x /∈ (a, b) QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU - U(a,b) Định nghĩa Biễn ngẫu liên tục X gọi là phân phối theo quy luật đều trong khoảng (a,b) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: f (x) = { 1 b−a x ∈ (a, b) 0 x /∈ (a, b) QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU - U(a,b) Các tham số đặc trưng E (X ) = a + b 2 V (X ) = (b − a)2 12 Chú ý. Nếu một biến ngẫu nhiên liên tục X chỉ nhận giá trị trong khoảng (a,b), ngoài ra chúng ta không có thông tin gì thêm về phân phối của X thì có thể coi như X phân phối đều trên (a,b). QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU - U(a,b) Các tham số đặc trưng E (X ) = a + b 2 V (X ) = (b − a)2 12 Chú ý. Nếu một biến ngẫu nhiên liên tục X chỉ nhận giá trị trong khoảng (a,b), ngoài ra chúng ta không có thông tin gì thêm về phân phối của X thì có thể coi như X phân phối đều trên (a,b). QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU - U(a,b) Các tham số đặc trưng E (X ) = a + b 2 V (X ) = (b − a)2 12 Chú ý. Nếu một biến ngẫu nhiên liên tục X chỉ nhận giá trị trong khoảng (a,b), ngoài ra chúng ta không có thông tin gì thêm về phân phối của X thì có thể coi như X phân phối đều trên (a,b). QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU - U(a,b) Ví dụ Giả sử lãi xuất của một loại cổ phiếu dao động trong khoảng từ 6 đến 12 %. Hỏi có nên đầu tư vào loại cổ phiếu này không biết rằng lãi suất tiền gửi ngân hàng là 8%. QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU - U(a,b) Ví dụ Giả sử lãi xuất của một loại cổ phiếu dao động trong khoảng từ 6 đến 12 %. Hỏi có nên đầu tư vào loại cổ phiếu này không biết rằng lãi suất tiền gửi ngân hàng là 8%. QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU - U(a,b) Ví dụ Gọi X là lãi suất cổ phiếu (%). Do khôngbiết thông tin gì thêm nên ta coi X phân phối đều trong khoảng (6;12). X có hàm mật độ xác suất: f (x) = { 1 12−6 = 1 6 x ∈ (6, 12) 0 x /∈ (6, 12) Ta có P(X > 8) = ∫ +∞ 8 f (x)dx = ∫ 12 8 1 6 dx = 2 3 Vậy nên đầu tư vào cổ phiếu. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - N(µ;σ2) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận các giá trị trong khoảng (−∞; +∞) gọi là phân phối theo quy luật chuẩn với các tham số µ và σ nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: f (x) = 1 σ √ 2pi e− (x−µ)2 2σ2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - N(µ;σ2) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận các giá trị trong khoảng (−∞; +∞) gọi là phân phối theo quy luật chuẩn với các tham số µ và σ nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: f (x) = 1 σ √ 2pi e− (x−µ)2 2σ2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - N(µ;σ2) Đồ thị của hàm mật độ xác suất có dạng: Các tham số đặc trưng: E (X) = µ; V(X) = σ2 Kí hiệu : X ∼ N(µ, σ2) QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - N(µ;σ2) Đồ thị của hàm mật độ xác suất có dạng: Các tham số đặc trưng: E (X) = µ; V(X) = σ2 Kí hiệu : X ∼ N(µ, σ2) QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - N(µ;σ2) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên tục U nhận giá trị trong khoảng (−∞; +∞) gọi là tuân theo quy luật phân phối chuẩn hóa nếu nó phân phối chuẩn với µ = 0 và σ2 = 1. Kí hiệu: U ∼ N(0;1). QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - N(µ;σ2) Hàm mật độ của U: ϕ(u) = 1√ 2pi · e − u 2 2 Đồ thị của hàm có mật độ xác suất ϕ(u) có dạng: Các giá trị của hàm ϕ(u)được tính sẵn thành bảng với ϕ(-u) = - ϕ(u) Chú ý. Nếu X ∼ N(µ, σ2) thì U = X−µσ ∼ N(0, 1) QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - N(µ;σ2) Hàm mật độ của U: ϕ(u) = 1√ 2pi · e − u 2 2 Đồ thị của hàm có mật độ xác suất ϕ(u) có dạng: Các giá trị của hàm ϕ(u)được tính sẵn thành bảng với ϕ(-u) = - ϕ(u) Chú ý. Nếu X ∼ N(µ, σ2) thì U = X−µσ ∼ N(0, 1) QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - N(µ;σ2) Hàm mật độ của U: ϕ(u) = 1√ 2pi · e − u 2 2 Đồ thị của hàm có mật độ xác suất ϕ(u) có dạng: Các giá trị của hàm ϕ(u)được tính sẵn thành bảng với ϕ(-u) = - ϕ(u) Chú ý. Nếu X ∼ N(µ, σ2) thì U = X−µσ ∼ N(0, 1) QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - N(µ;σ2) Hàm mật độ của U: ϕ(u) = 1√ 2pi · e − u 2 2 Đồ thị của hàm có mật độ xác suất ϕ(u) có dạng: Các giá trị của hàm ϕ(u)được tính sẵn thành bảng với ϕ(-u) = - ϕ(u) Chú ý. Nếu X ∼ N(µ, σ2) thì U = X−µσ ∼ N(0, 1) QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Giá trị tới hạn chuẩn Định nghĩa Giá trị tới hạn chuẩn mức α, kí hiệu uα, là giá trị của biến ngẫu nhiên U ∼ N(0;1) thỏa mãn P(U > uα) = α Bản chất: α = P (U > uα) = ∫ +∞ uα ϕ(u)du = 1√ 2pi ∫ +∞ uα e− u2 2 du Các giá trị tới hạn chuẩn được tính sẵn thành bảng QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Giá trị tới hạn chuẩn Định nghĩa Giá trị tới hạn chuẩn mức α, kí hiệu uα, là giá trị của biến ngẫu nhiên U ∼ N(0;1) thỏa mãn P(U > uα) = α Bản chất: α = P (U > uα) = ∫ +∞ uα ϕ(u)du = 1√ 2pi ∫ +∞ uα e− u2 2 du Các giá trị tới hạn chuẩn được tính sẵn thành bảng QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Giá trị tới hạn chuẩn Định nghĩa Giá trị tới hạn chuẩn mức α, kí hiệu uα, là giá trị của biến ngẫu nhiên U ∼ N(0;1) thỏa mãn P(U > uα) = α Bản chất: α = P (U > uα) = ∫ +∞ uα ϕ(u)du = 1√ 2pi ∫ +∞ uα e− u2 2 du Các giá trị tới hạn chuẩn được tính sẵn thành bảng QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Giá trị tới hạn chuẩn Định nghĩa Giá trị tới hạn chuẩn mức α, kí hiệu uα, là giá trị của biến ngẫu nhiên U ∼ N(0;1) thỏa mãn P(U > uα) = α Bản chất: α = P (U > uα) = ∫ +∞ uα ϕ(u)du = 1√ 2pi ∫ +∞ uα e− u2 2 du Các giá trị tới hạn chuẩn được tính sẵn thành bảng QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Giá trị tới hạn chuẩn Ý nghĩa: uα là 1 điểm (1 giá trị cụ thể) mà diện tích bên phải nó bằng α. Tính chất: u1−α = −uα Ví dụ u0,025 =1,96 ↔ P(U > 1,96) = 0,025; u0,95 = - u0,05 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Giá trị tới hạn chuẩn Ý nghĩa: uα là 1 điểm (1 giá trị cụ thể) mà diện tích bên phải nó bằng α. Tính chất: u1−α = −uα Ví dụ u0,025 =1,96 ↔ P(U > 1,96) = 0,025; u0,95 = - u0,05 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Giá trị tới hạn chuẩn Ý nghĩa: uα là 1 điểm (1 giá trị cụ thể) mà diện tích bên phải nó bằng α. Tính chất: u1−α = −uα Ví dụ u0,025 =1,96 ↔ P(U > 1,96) = 0,025; u0,95 = - u0,05 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Giá trị tới hạn chuẩn Ý nghĩa: uα là 1 điểm (1 giá trị cụ thể) mà diện tích bên phải nó bằng α. Tính chất: u1−α = −uα Ví dụ u0,025 =1,96 ↔ P(U > 1,96) = 0,025; u0,95 = - u0,05 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Công thức tính xác suất Hàm φ0(x) Φ0(x) = ∫ x 0 ϕ(u)du = 1√ 2pi ∫ x 0 e− u2 2 du Tính chất: Φ0(−x) = −Φ0(x) ∀x > 5 Φ0(x) ≈ Φ0(5) = 0, 5 Các giá trị của hàm Φ0(x) được tính sẵn thành bảng. Ví dụ. Φ0(1, 02) = 0, 3461; Φ0(−1, 02) = −Φ0(1, 02) Chú ý. Φ0(uα) + α = 0, 5⇒ Φ0(uα) = 0, 5− α QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Công thức tính xác suất Hàm φ0(x) Φ0(x) = ∫ x 0 ϕ(u)du = 1√ 2pi ∫ x 0 e− u2 2 du Tính chất: Φ0(−x) = −Φ0(x) ∀x > 5 Φ0(x) ≈ Φ0(5) = 0, 5 Các giá trị của hàm Φ0(x) được tính sẵn thành bảng. Ví dụ. Φ0(1, 02) = 0, 3461; Φ0(−1, 02) = −Φ0(1, 02) Chú ý. Φ0(uα) + α = 0, 5⇒ Φ0(uα) = 0, 5− α QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Công thức tính xác suất Hàm φ0(x) Φ0(x) = ∫ x 0 ϕ(u)du = 1√ 2pi ∫ x 0 e− u2 2 du Tính chất: Φ0(−x) = −Φ0(x) ∀x > 5 Φ0(x) ≈ Φ0(5) = 0, 5 Các giá trị của hàm Φ0(x) được tính sẵn thành bảng. Ví dụ. Φ0(1, 02) = 0, 3461; Φ0(−1, 02) = −Φ0(1, 02) Chú ý. Φ0(uα) + α = 0, 5⇒ Φ0(uα) = 0, 5− α QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Công thức tính xác suất Hàm φ0(x) Φ0(x) = ∫ x 0 ϕ(u)du = 1√ 2pi ∫ x 0 e− u2 2 du Tính chất: Φ0(−x) = −Φ0(x) ∀x > 5 Φ0(x) ≈ Φ0(5) = 0, 5 Các giá trị của hàm Φ0(x) được tính sẵn thành bảng. Ví dụ. Φ0(1, 02) = 0, 3461; Φ0(−1, 02) = −Φ0(1, 02) Chú ý. Φ0(uα) + α = 0, 5⇒ Φ0(uα) = 0, 5− α QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Công thức tính xác suất P(a < X < b) = Φ0( b − µ σ )− Φ0(a− µ σ ) P(a < X < b) = P( a− µ σ < X − µ σ < b − µ σ ) = P(U > a− µ σ )− P(U > b − µ σ ) = α− β trong đó uα = a−µ σ và uβ = b−µ σ P(|X − µ| < ε) = 2Φ0( ε σ ) = 1− 2α trong đó uα = ε σ QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Công thức tính xác suất P(a < X < b) = Φ0( b − µ σ )− Φ0(a− µ σ ) P(a < X < b) = P( a− µ σ < X − µ σ < b − µ σ ) = P(U > a− µ σ )− P(U > b − µ σ ) = α− β trong đó uα = a−µ σ và uβ = b−µ σ P(|X − µ| < ε) = 2Φ0( ε σ ) = 1− 2α trong đó uα = ε σ QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Công thức tính xác suất P(a < X < b) = Φ0( b − µ σ )− Φ0(a− µ σ ) P(a < X < b) = P( a− µ σ < X − µ σ < b − µ σ ) = P(U > a− µ σ )− P(U > b − µ σ ) = α− β trong đó uα = a−µ σ và uβ = b−µ σ P(|X − µ| < ε) = 2Φ0( ε σ ) = 1− 2α trong đó uα = ε σ QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Quy tắc 2σ,3σ ε = 2σ ta có P(|X − µ| < 2σ) = 2Φ0(2) = 0, 9544 ε = 3σ ta có P(|X − µ| < 3σ) = 2Φ0(3) = 0, 9973 ≈ 1 Như vậy, nếu biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn thì 95,44 % các giá trị của nó nằm trong khoảng (µ− 2σ;µ+ 2σ) và gần như toàn bộ các giá trị của nó (99,73%) nằm trong khoảng (µ− 3σ;µ+ 3σ). Ngược lại, nếu biến ngẫu nhiên liên tục X thoả mãn quy tắc 2σ và 3σ thì có thể xem như nó phân phối chuẩn. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Quy tắc 2σ,3σ ε = 2σ ta có P(|X − µ| < 2σ) = 2Φ0(2) = 0, 9544 ε = 3σ ta có P(|X − µ| < 3σ) = 2Φ0(3) = 0, 9973 ≈ 1 Như vậy, nếu biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn thì 95,44 % các giá trị của nó nằm trong khoảng (µ− 2σ;µ+ 2σ) và gần như toàn bộ các giá trị của nó (99,73%) nằm trong khoảng (µ− 3σ;µ+ 3σ). Ngược lại, nếu biến ngẫu nhiên liên tục X thoả mãn quy tắc 2σ và 3σ thì có thể xem như nó phân phối chuẩn. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Quy tắc 2σ,3σ ε = 2σ ta có P(|X − µ| < 2σ) = 2Φ0(2) = 0, 9544 ε = 3σ ta có P(|X − µ| < 3σ) = 2Φ0(3) = 0, 9973 ≈ 1 Như vậy, nếu biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn thì 95,44 % các giá trị của nó nằm trong khoảng (µ− 2σ;µ+ 2σ) và gần như toàn bộ các giá trị của nó (99,73%) nằm trong khoảng (µ− 3σ;µ+ 3σ). Ngược lại, nếu biến ngẫu nhiên liên tục X thoả mãn quy tắc 2σ và 3σ thì có thể xem như nó phân phối chuẩn. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Quy tắc 2σ,3σ ε = 2σ ta có P(|X − µ| < 2σ) = 2Φ0(2) = 0, 9544 ε = 3σ ta có P(|X − µ| < 3σ) = 2Φ0(3) = 0, 9973 ≈ 1 Như vậy, nếu biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn thì 95,44 % các giá trị của nó nằm trong khoảng (µ− 2σ;µ+ 2σ) và gần như toàn bộ các giá trị của nó (99,73%) nằm trong khoảng (µ− 3σ;µ+ 3σ). Ngược lại, nếu biến ngẫu nhiên liên tục X thoả mãn quy tắc 2σ và 3σ thì có thể xem như nó phân phối chuẩn. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Điều kiện áp dụng Trong quy luật nhị thức B(n, p) nếu số phép thử n khá lớn mà xác suất p lại không nhỏ thì quy luật nhị thức hội tụ về quy luật chuẩn. Trong thực tế, nếu: n > 5 và ∣∣∣∣√ p1− p − √ 1− p p ∣∣∣∣ · 1√n < 0, 3 thì B(n,p) ≈ N (µ = np; σ2= np(1-p)). Giả sử X1 ∼ N(µ1, σ21) và X2 ∼ N(µ2, σ22) độc lập. Khi đó: X1 ± X2