Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê Toán - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng - Mai Cẩm Tú

uy luật phân phối Chuẩn. 4 Quy luật T(n); χ2(n); F(n 1 , n 2 ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 100 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 3 1 Quy luật không - một; nhị thứ ; Poisson; siêu bội. 2 Quy luật đều, lũy thừa 3 Quy luật phân phối Chuẩn. 4 Quy luật T(n); χ2(n); F(n 1 , n 2 ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 100 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 3 1 Quy luật không - một; nhị thứ ; Poisson; siêu bội. 2 Quy luật đều, lũy thừa 3 Quy luật phân phối Chuẩn. 4 Quy luật T(n); χ2(n); F(n 1 , n 2 ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 100 / 293 2. Quy luật không - một - A(p) 2.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạ X nhận một trong hai giá trị ó thể ó X = 0, 1 với á xá suất tương ứng đượ tính bởi ông thứ P x = px(1− p)1−x với x = 0, 1 gọi là phân phối theo quy luật không - một với tham số là p. Kí hiệu: X ∼ A(p). Bảng phân phối xá suất X 0 1 P 1 - p p Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 101 / 293 2. Quy luật không - một - A(p) 2.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạ X nhận một trong hai giá trị ó thể ó X = 0, 1 với á xá suất tương ứng đượ tính bởi ông thứ P x = px(1− p)1−x với x = 0, 1 gọi là phân phối theo quy luật không - một với tham số là p. Kí hiệu: X ∼ A(p). Bảng phân phối xá suất X 0 1 P 1 - p p Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 101 / 293 2. Quy luật không - một - A(p) 2.2. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật không - một Từ bảng phân phối xá suất ta ó: nếu X ∼ A(p) thì E(X) = 0.(1− p) + 1.p = p V(X) = 02.(1− p) + 12.p− p2 = p− p2 = p(1− p) σ X = √ V(X) = √ p(1− p) 2.3. ứng dng. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 102 / 293 2. Quy luật không - một - A(p) 2.2. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật không - một Từ bảng phân phối xá suất ta ó: nếu X ∼ A(p) thì E(X) = 0.(1− p) + 1.p = p V(X) = 02.(1− p) + 12.p− p2 = p− p2 = p(1− p) σ X = √ V(X) = √ p(1− p) 2.3. ứng dng. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 102 / 293 3. Quy luật nhị thứ - B(n, p) 3.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạ X nhận một trong á giá trị ó thể ó X = 0, 1, ..., n với á xá suất tương ứng đượ tính bởi ông thứ P x = Cx n p x q n−x trong đó x = 0, 1, 2, ..., n gọi là phân phối theo quy luật nhị thứ với á tham số là n và p. Kí hiệu: X ∼ B(n, p) Bảng phân phối xá suất X 0 1 ... x ... n P C 0 n p 0 q n C 1 n p 1 q n−1 ... C x n p x q n−x ... C n n p n q 0 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 103 / 293 3. Quy luật nhị thứ - B(n, p) 3.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạ X nhận một trong á giá trị ó thể ó X = 0, 1, ..., n với á xá suất tương ứng đượ tính bởi ông thứ P x = Cx n p x q n−x trong đó x = 0, 1, 2, ..., n gọi là phân phối theo quy luật nhị thứ với á tham số là n và p. Kí hiệu: X ∼ B(n, p) Bảng phân phối xá suất X 0 1 ... x ... n P C 0 n p 0 q n C 1 n p 1 q n−1 ... C x n p x q n−x ... C n n p n q 0 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 103 / 293 3. Quy luật nhị thứ - B(n, p) Trong thự tế đôi khi phải tính xá suất trong đoạn [x, x+ h] với h ∈ N, h 6 n− x. Lú đó ta dùng ông thứ sau: P(x 6 X 6 x+ h) = P x + P x+1 + ...+ P x+h trong đó á giá trị P x tra ở bảng 1. Chú ý Nếu bài toán thỏa mãn lượ đồ Bernoulli vói 2 tham số là n và p, gọi X là số lần xuất hiện biến ố A thì X ∼ B(n, p) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 104 / 293 3. Quy luật nhị thứ - B(n, p) Trong thự tế đôi khi phải tính xá suất trong đoạn [x, x+ h] với h ∈ N, h 6 n− x. Lú đó ta dùng ông thứ sau: P(x 6 X 6 x+ h) = P x + P x+1 + ...+ P x+h trong đó á giá trị P x tra ở bảng 1. Chú ý Nếu bài toán thỏa mãn lượ đồ Bernoulli vói 2 tham số là n và p, gọi X là số lần xuất hiện biến ố A thì X ∼ B(n, p) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 104 / 293 3. Quy luật nhị thứ - B(n, p) Thí d 3.1. Một phân xưởng ó 5 máy hoạt động độ lập. Xá suất để trong một ngày mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1. Gọi X là số máy bị hỏng trong ngày. a. Xá định quy luật phân phối xá suất ủa X. b. Tìm xá suất để trong một ngày ó 2 máy hỏng. . Tìm xá suất để trong một ngày ó không quá 2 máy hỏng. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 105 / 293 3. Quy luật nhị thứ - B(n, p) 3.2. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật nhị thứ Nếu X ∼ B(n, p) thì E(X) = np V(X) = npq σ X = √ V(X) = √ npq và Mốt m 0 là giá trị nguyên thỏa mãn np− q = np+ p− 1 6 m 0 6 np+ p Nhận xt: + Nếu np+ p ∈ N thì Mốt là một trong hai giá trị np+ p− 1 hoặ np+ p. + Nếu np+ p /∈ N thì Mốt là số nguyên dương duy nhất nằm giữa np+ p− 1 và np+ p. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 106 / 293 3. Quy luật nhị thứ - B(n, p) 3.2. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật nhị thứ Nếu X ∼ B(n, p) thì E(X) = np V(X) = npq σ X = √ V(X) = √ npq và Mốt m 0 là giá trị nguyên thỏa mãn np− q = np+ p− 1 6 m 0 6 np+ p Nhận xt: + Nếu np+ p ∈ N thì Mốt là một trong hai giá trị np+ p− 1 hoặ np+ p. + Nếu np+ p /∈ N thì Mốt là số nguyên dương duy nhất nằm giữa np+ p− 1 và np+ p. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 106 / 293 3. Quy luật nhị thứ - B(n, p) Thí d 3.2. Một năm một nhân viên hào hàng đi hào hàng 300 ngày với xá suất bán đượ hàng mỗi ngày là 0,8926. a) Trung bình trong 1 năm ó bao nhiêu ngày người đó bán đượ hàng. b) Tìm số ngày bán đượ hàng ó khả năng nhiều nhất và xá suất ủa giá trị đó. Chú ý • Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n và X i ∼ A(p), ∀i thì X 1 + X 2 + ...+ X n ∼ B(n, p) • Nếu X 1 ∼ B(n 1 , p), X 2 ∼ B(n 2 , p) và độ lập thì X 1 + X 2 ∼ B(n = n 1 + n 2 , p) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 107 / 293 3. Quy luật nhị thứ - B(n, p) Thí d 3.2. Một năm một nhân viên hào hàng đi hào hàng 300 ngày với xá suất bán đượ hàng mỗi ngày là 0,8926. a) Trung bình trong 1 năm ó bao nhiêu ngày người đó bán đượ hàng. b) Tìm số ngày bán đượ hàng ó khả năng nhiều nhất và xá suất ủa giá trị đó. Chú ý • Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n và X i ∼ A(p), ∀i thì X 1 + X 2 + ...+ X n ∼ B(n, p) • Nếu X 1 ∼ B(n 1 , p), X 2 ∼ B(n 2 , p) và độ lập thì X 1 + X 2 ∼ B(n = n 1 + n 2 , p) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 107 / 293 3. Quy luật nhị thứ - B(n, p) 3.3. Quy luật phân phối xá suất ủa tần suất Xt một lượ đồ Bernoulli. Gọi X là số lần xuất hiện biến ố A trong n php thử. Khi đó tần suất xuất hiện biến ố A là f = X n Vì X ∼ B(n, p) nên f ó bảng PPXS như sau: f 0 1/n ... x/n ... 1 P C 0 n p 0 q n C 1 n p 1 q n−1 ... C x n p x q n−x ... C n n p n q 0 E(f) = p;V(f) = pq n ; σ f = √ V(f) = √ pq√ n Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 108 / 293 4. Quy luật Poisson - P(λ) Nếu X ∼ B(n, p) với n khá lớn mà p lại quá nhỏ (np ≈ npq) thì người ta sử dng ông thứ xấp xỉ Poison. 4.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạ X nhận một trong á giá trị ó thể ó X = 0, 1, 2, ... với á xá suất tương ứng đượ tính bằng ông thứ P x = λx x! e −λ x = 0, 1, 2, ... gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham số là λ. Kí hiệu X ∼ P(λ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 109 / 293 4. Quy luật Poisson - P(λ) Nếu X ∼ B(n, p) với n khá lớn mà p lại quá nhỏ (np ≈ npq) thì người ta sử dng ông thứ xấp xỉ Poison. 4.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạ X nhận một trong á giá trị ó thể ó X = 0, 1, 2, ... với á xá suất tương ứng đượ tính bằng ông thứ P x = λx x! e −λ x = 0, 1, 2, ... gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham số là λ. Kí hiệu X ∼ P(λ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 109 / 293 4. Quy luật Poisson - P(λ) Bảng phân phối xá suất ủa quy luật Poisson X 0 1 ... x ... P e −λλ0 0! e −λλ1 1! ... e −λλx x! ... Công thứ tính xá suất trong đoạn [x, x+ h] là P(x 6 X 6 x+ h) = P x + P x+1 + ...+ P x+h Thí d 3.3. Một lô hàng ó tỷ lệ phế phẩm là 2%. Người ta kiểm tra 200 sản phẩm ủa lô hàng và nếu trong đó ó không quá 2 phế phẩm thì lô hàng đượ hấp nhận. Tìm xá suất để lô hàng đượ hấp nhận. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 110 / 293 4. Quy luật Poisson - P(λ) Bảng phân phối xá suất ủa quy luật Poisson X 0 1 ... x ... P e −λλ0 0! e −λλ1 1! ... e −λλx x! ... Công thứ tính xá suất trong đoạn [x, x+ h] là P(x 6 X 6 x+ h) = P x + P x+1 + ...+ P x+h Thí d 3.3. Một lô hàng ó tỷ lệ phế phẩm là 2%. Người ta kiểm tra 200 sản phẩm ủa lô hàng và nếu trong đó ó không quá 2 phế phẩm thì lô hàng đượ hấp nhận. Tìm xá suất để lô hàng đượ hấp nhận. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 110 / 293 4. Quy luật Poisson - P(λ) Bảng phân phối xá suất ủa quy luật Poisson X 0 1 ... x ... P e −λλ0 0! e −λλ1 1! ... e −λλx x! ... Công thứ tính xá suất trong đoạn [x, x+ h] là P(x 6 X 6 x+ h) = P x + P x+1 + ...+ P x+h Thí d 3.3. Một lô hàng ó tỷ lệ phế phẩm là 2%. Người ta kiểm tra 200 sản phẩm ủa lô hàng và nếu trong đó ó không quá 2 phế phẩm thì lô hàng đượ hấp nhận. Tìm xá suất để lô hàng đượ hấp nhận. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 110 / 293 4. Quy luật Poisson - P(λ) 4.2. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật Poisson Giả sử X ∼ P(λ) thì á tham số đặ trưng ủa X là E(X) = λ V(X) = λ λ− 1 6 m 0 6 λ Thí d 3.4. Xá suất để trong khi vận huyển một hai rượu bị vỡ là 0,001. Người ta tiến hành vận huyển 2000 hai rượu đến ửa hàng. a. Tìm số hai vỡ trung bình khi vận huyển. b. Tìm số hai vỡ ó khả năng nhiều nhất. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 111 / 293 4. Quy luật Poisson - P(λ) 4.2. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật Poisson Giả sử X ∼ P(λ) thì á tham số đặ trưng ủa X là E(X) = λ V(X) = λ λ− 1 6 m 0 6 λ Thí d 3.4. Xá suất để trong khi vận huyển một hai rượu bị vỡ là 0,001. Người ta tiến hành vận huyển 2000 hai rượu đến ửa hàng. a. Tìm số hai vỡ trung bình khi vận huyển. b. Tìm số hai vỡ ó khả năng nhiều nhất. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 111 / 293 5. Quy luật siêu bội- M(N, n) 5.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạ X nhận một trong á giá trị ó thể ó X = 0, 1, 2, ..., n với á xá suất tương ứng đượ tính bởi ông thứ P x = C x M C n−x N−M C n N gọi là phân phối theo quy luật siêu bội với á tham số là N và n. Kí hiệu: X ∼ M(N, n). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 112 / 293 5. Quy luật siêu bội- M(N, n) Bảng phân phối xá suất ủa X như sau X 0 1 ... x ... n P C 0 M C n N−M C n N C 1 M C n−1 N−M C n N ... C x M C n−x N−M C n N ... C n M C 0 N−M C n N 5.2. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật siêu bội Nếu X ∼ M(N, n) thì E(X) = n M N = np V(X) = n M N N−M N N− n N− 1 = npq N− n N− 1 Trong đó N−n N−1 gọi là hệ số hiệu hỉnh. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 113 / 293 5. Quy luật siêu bội- M(N, n) Bảng phân phối xá suất ủa X như sau X 0 1 ... x ... n P C 0 M C n N−M C n N C 1 M C n−1 N−M C n N ... C x M C n−x N−M C n N ... C n M C 0 N−M C n N 5.2. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật siêu bội Nếu X ∼ M(N, n) thì E(X) = n M N = np V(X) = n M N N−M N N− n N− 1 = npq N− n N− 1 Trong đó N−n N−1 gọi là hệ số hiệu hỉnh. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 113 / 293 6. Quy luật phân phối đều - U(a, b) 6.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên t X gọi là phân phối theo quy luật đều trong khoảng (a, b) nếu hàm mật độ xá suất ủa nó ó dạng: f(x) =  1 b− avới x ∈ (a, b) 0 với x /∈ (a, b) Kí hiệu: X ∼ U(a, b). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 114 / 293 6. Quy luật phân phối đều - U(a, b) Đồ thị hàm mật độ xá suất ó dạng như hình sau f(x) 1 a−b 0 a b x 6.2. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật đều E(X) = a+ b 2 ; V(X) = (b− a)2 12 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 115 / 293 6. Quy luật phân phối đều - U(a, b) Đồ thị hàm mật độ xá suất ó dạng như hình sau f(x) 1 a−b 0 a b x 6.2. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật đều E(X) = a+ b 2 ; V(X) = (b− a)2 12 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 115 / 293 7. Quy luật pp lũy thừa- E( λ) 7.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên t X gọi là phân phối theo quy luật lũy thừa (quy luật mũ) nếu hàm mật độ xá suất ủa nó ó dạng: f(x) = { 0 với x < 0 λe−λx với x > 0 trong đó λ là hằng số dương. Kí hiệu: X ∼ E(λ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 116 / 293 7. Quy luật phân phối lũy thừa- E( λ) Đồ thị ủa hàm f(x) ó dạng như hình sau f(x) x 0 λ F(x) = 1− e−λx với x > 0 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 117 / 293 7. Quy luật phân phối lũy thừa- E( λ) 7.2. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật lũy thừa Nếu X ∼ E(λ) thì E(X) = 1 λ ; V(X) = 1 λ2 ; σ X = 1 λ • Xá suất để biến ngẫu nhiên X ∼ E(λ) nhận giá trị trong khoảng (a,b) là P(a < X < b) = F(b)− F(a) = e−aλ − e−bλ • Giá trị ủa hàm e−x đượ tính sẵn trong bảng ph l 3. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 118 / 293 7. Quy luật phân phối lũy thừa- E( λ) 7.2. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật lũy thừa Nếu X ∼ E(λ) thì E(X) = 1 λ ; V(X) = 1 λ2 ; σ X = 1 λ • Xá suất để biến ngẫu nhiên X ∼ E(λ) nhận giá trị trong khoảng (a,b) là P(a < X < b) = F(b)− F(a) = e−aλ − e−bλ • Giá trị ủa hàm e−x đượ tính sẵn trong bảng ph l 3. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 118 / 293 7. Quy luật phân phối lũy thừa- E( λ) Thí d 3.5. Thời gian ph v một khá h hàng tại một siêu thị là biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật lũy thừa với hàm mật độ xá suất như sau f(x) = { 5e −5x với x > 0 0 với x < 0 Với X đượ tính bằng phút/khá h hàng. a. Tìm xá suất để thời gian ph v khá h hàng nào đó sẽ nằm trong khoảng từ 0,4 đến 1 phút. b. Tìm thời gian trung bình để ph v mọt khá h hàng. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 119 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên t X nhận á giá trị trong khoảng (−∞,+∞) gọi là phân phối theo quy luật huẩn với á tham số à và σ2, nếu hàm mật độ xá suất ủa nó ó dạng: f(x) = 1 σ √ 2pi e − (x− à)2 2σ2 Kí hiệu: X ∼ N(à, σ2). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 120 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Đồ thị ủa hàm mật độ ó dạng như hình sau. f(x) x àà− σ à+ σ 1 σ √ 2pi 1 σ √ 2pie Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 121 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.2. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật huẩn Nếu X ∼ N(à, σ2) thì á tham số đặ trưng ủa nó là: E(X) = à V(X) = σ2 σ X = √ V(X) = σ Để hứng minh á ông thứ này ta ần đặt ẩn ph và sử dng tí h phân Poisson (xem giáo trình). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 122 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.3. Quy luật phân phối Chuẩn hóa a. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên U nhận á giá trị trong khoảng (−∞,+∞) gọi là tuân theo quy luật phân phối huẩn hóa nếu hàm mật độ xá suất ủa nó ó dạng: ϕ(u) = 1√ 2pi e − n 2 2 Kí hiệu: U ∼ N(0, 1) Giả sử biến ngẫu nhiên X ∼ N(à, σ2) thì U = X− à σ ∼ N(0, 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 123 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.3. Quy luật phân phối Chuẩn hóa a. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên U nhận á giá trị trong khoảng (−∞,+∞) gọi là tuân theo quy luật phân phối huẩn hóa nếu hàm mật độ xá suất ủa nó ó dạng: ϕ(u) = 1√ 2pi e − n 2 2 Kí hiệu: U ∼ N(0, 1) Giả sử biến ngẫu nhiên X ∼ N(à, σ2) thì U = X− à σ ∼ N(0, 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 123 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Đồ thị ủa hàm mật độ xá suất ó dạng như hình sau 1 0 -1 1 1√ 2pie ϕ(u) u b. Cá tham số đặ trưng ủa quy luật huẩn hóa E(U) = 0; V(U) = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 124 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) . Hàm phân bố xá suất Φ(u) và hàm Φ 0 (u) Φ(u) = u∫ −∞ ϕ(t)dt = 0, 5+ u∫ 0 ϕ(t)dt Đặt Φ 0 (u) = u∫ 0 ϕ(t)dt thì ta ó: + Φ o (−u) = −Φ 0 (u) + Với u > 5 thì Φ 0 (u) = 0, 5 + Φ(u) = 0, 5+ Φ 0 (u) với Φ(u) = P(U < u) Cá giá trị hàm Φ 0 (u) tra tại ph l 5/ 951. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 125 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) . Hàm phân bố xá suất Φ(u) và hàm Φ 0 (u) Φ(u) = u∫ −∞ ϕ(t)dt = 0, 5+ u∫ 0 ϕ(t)dt Đặt Φ 0 (u) = u∫ 0 ϕ(t)dt thì ta ó: + Φ o (−u) = −Φ 0 (u) + Với u > 5 thì Φ 0 (u) = 0, 5 + Φ(u) = 0, 5+ Φ 0 (u) với Φ(u) = P(U < u) Cá giá trị hàm Φ 0 (u) tra tại ph l 5/ 951. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 125 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) . Hàm phân bố xá suất Φ(u) và hàm Φ 0 (u) Φ(u) = u∫ −∞ ϕ(t)dt = 0, 5+ u∫ 0 ϕ(t)dt Đặt Φ 0 (u) = u∫ 0 ϕ(t)dt thì ta ó: + Φ o (−u) = −Φ 0 (u) + Với u > 5 thì Φ 0 (u) = 0, 5 + Φ(u) = 0, 5+ Φ 0 (u) với Φ(u) = P(U < u) Cá giá trị hàm Φ 0 (u) tra tại ph l 5/ 951. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 125 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.4. Giá trị tới hạn huẩn Giá trị tới hạn huẩn mứ α (kí hiệu là uα) là giá trị ủa biến ngẫu nhiên U ó phân phối huẩn hóa thỏa mãn điều kiện P(U > uα) = α⇔ P(U < uα) = 1− α Cá giá trị tới hạn huẩn đượ tính sẵn ở bảng ph l 6/ 952. Ví d: u 0,05 = 1, 645; u0,025 = 1, 96 Tính hất: −uα = u1−α. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 126 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.4. Giá trị tới hạn huẩn Giá trị tới hạn huẩn mứ α (kí hiệu là uα) là giá trị ủa biến ngẫu nhiên U ó phân phối huẩn hóa thỏa mãn điều kiện P(U > uα) = α⇔ P(U < uα) = 1− α Cá giá trị tới hạn huẩn đượ tính sẵn ở bảng ph l 6/ 952. Ví d: u 0,05 = 1, 645; u0,025 = 1, 96 Tính hất: −uα = u1−α. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 126 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.5. Một số ông thứ tính xá suất thường dùng Nếu X ∼ N(à, σ2) ta ó ông thứ sau P(a < X < b) = Φ 0 ( b− à σ )− Φ 0 ( a− à σ ) Cá h 2: Do U = X−àσ ∼ N(0, 1) nên: P(a < X < b) = P(X−à σ < b−à σ )− P(X−à σ < a−à σ ) = P(U < b−àσ )− P(U < a−àσ ) Chú ý: P(U < 5) ≈ 1 và tính hất P(U a) = 1− P(U 0 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 127 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.5. Một số ông thứ tính xá suất thường dùng Nếu X ∼ N(à, σ2) ta ó ông thứ sau P(a < X < b) = Φ 0 ( b− à σ )− Φ 0 ( a− à σ ) Cá h 2: Do U = X−àσ ∼ N(0, 1) nên: P(a < X < b) = P(X−à σ < b−à σ )− P(X−à σ < a−à σ ) = P(U < b−àσ )− P(U < a−àσ ) Chú ý: P(U < 5) ≈ 1 và tính hất P(U a) = 1− P(U 0 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 127 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.5. Một số ông thứ tính xá suất thường dùng Nếu X ∼ N(à, σ2) ta ó ông thứ sau P(a < X < b) = Φ 0 ( b− à σ )− Φ 0 ( a− à σ ) Cá h 2: Do U = X−àσ ∼ N(0, 1) nên: P(a < X < b) = P(X−à σ < b−à σ )− P(X−à σ < a−à σ ) = P(U < b−àσ )− P(U < a−àσ ) Chú ý: P(U < 5) ≈ 1 và tính hất P(U a) = 1− P(U 0 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 127 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Từ ông thứ trên ta ó: P(a < X) = P(a < X < +∞) = 0, 5− Φ 0 ( a− à σ ) P(X < b) = P(−∞ < X < b) = Φ 0 ( b− à σ ) + 0, 5 P(|X− à| 6 ε) = P(à− ε < X < à+ ε) = 2Φ 0 ( ε σ ) Quy tắ 2 sigma: P(|X− à| 6 2σ) = 0, 9544 Quy tắ 3 sigma: P(|X− à| 6 3σ) = 0, 9973 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 128 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Từ ông thứ trên ta ó: P(a < X) = P(a < X < +∞) = 0, 5− Φ 0 ( a− à σ ) P(X < b) = P(−∞ < X < b) = Φ 0 ( b− à σ ) + 0, 5 P(|X− à| 6 ε) = P(à− ε < X < à+ ε) = 2Φ 0 ( ε σ ) Quy tắ 2 sigma: P(|X− à| 6 2σ) = 0, 9544 Quy tắ 3 sigma: P(|X− à| 6 3σ) = 0, 9973 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 128 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Từ ông thứ trên ta ó: P(a < X) = P(a < X < +∞) = 0, 5− Φ 0 ( a− à σ ) P(X < b) = P(−∞ < X < b) = Φ 0 ( b− à σ ) + 0, 5 P(|X− à| 6 ε) = P(à− ε < X < à+ ε) = 2Φ 0 ( ε σ ) Quy tắ 2 sigma: P(|X− à| 6 2σ) = 0, 9544 Quy tắ 3 sigma: P(|X− à| 6 3σ) = 0, 9973 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 128 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Từ ông thứ trên ta ó: P(a < X) = P(a < X < +∞) = 0, 5− Φ 0 ( a− à σ ) P(X < b) = P(−∞ < X < b) = Φ 0 ( b− à σ ) + 0, 5 P(|X− à| 6 ε) = P(à− ε < X < à+ ε) = 2Φ 0 ( ε σ ) Quy tắ 2 sigma: P(|X− à| 6 2σ) = 0, 9544 Quy tắ 3 sigma: P(|X− à| 6 3σ) = 0, 9973 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 128 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Từ ông thứ trên ta ó: P(a < X) = P(a < X < +∞) = 0, 5− Φ 0 ( a− à σ ) P(X < b) = P(−∞ < X < b) = Φ 0 ( b− à σ ) + 0, 5 P(|X− à| 6 ε) = P(à− ε < X < à+ ε) = 2Φ 0 ( ε σ ) Quy tắ 2 sigma: P(|X− à| 6 2σ) = 0, 9544 Quy tắ 3 sigma: P(|X− à| 6 3σ) = 0, 9973 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 128 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Thí d 3.6. Trọng lượng sản phẩm X do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật huẩn với kì vọng là 100g và độ lệ h huẩn là 2g. Tìm tỷ lệ sản phẩm ó a. trọng lượng từ 95g đến 102g. b. trọng lượng lớn hơn 105g . trọng lượng không quá 98g. d. Sản phẩm đượ oi là đạt tiêu huẩn kĩ thuật nếu trọng lượng ủa nó sai lệ h so với trọng lượng quy định không quá 4g. Tìm tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu huẩn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 129 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Thí d 3.7. Tuổi thọ sản phẩm là BNN phân phối huẩn với trung bình là 3,6 năm và phương sai là 2 năm 2 . Khi bán 1 SP ửa hàng lãi 300 nghìn đồng. Nếu SP bị hỏng trong thời gian bảo hành thì ửa hàng bị lỗ 500 nghìn đồng (⇔ hi phí bảo hành là 800). Quy định thời gian BH là 1 năm. a. Tỷ lệ sản phẩm phải BH là bao nhiêu? b. Nếu muốn BH ho 5% số sản phẩm thì nên quy định thời gian BH bao lâu? . Tìm tiền lãi trung bình trên mỗi SP bán đượ . d. Muốn tiền lãi trên mỗi sản phẩm là 280 nghìn đồng thì quy định thời gian BH là bao lâu? Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 130 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Thí d 3.8. Chiều dài sản phẩm đượ sản xuất tự động là BNN phân phối huẩn với trung bình là 80 m. Biết rằng ó 10% số sản phẩm ó hiều dài trên 83 m. Sản phẩm ó hiều dài từ 75 m trở lên thì đạt tiêu huẩn. a. Tìm phương sai về hiều dài. b. Tìm tỷ lệ SP đạt tiêu huẩn. . Tìm xá suất trong 10 SP ó không quá 2 SP đạt tiêu huẩn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 131 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.6. Phân phối xá suất ủa tổng á biến ngẫu nhiên độ lập tuân theo ùng một quy luật • X 1 ∼ N(à 1 , σ2 1 ),X 2 ∼ N(à 2 , σ2 2 ) và độ lập thì ⇒ X 1 + X 2 ∼ N(à 1 + à 2 , σ2 1 + σ2 2 ) • Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n là n BNN độ lập ùng tuân theo một quy luật phân phối (không nhất thiết là quy luật huẩn) thì khi n khá lớn (n > 30) biến ngẫu nhiên X = ∑ n i=1 Xi sẽ phân phối xấp xỉ huẩn với E(X) = n∑ i=1 E(X i ) và V(X) = n∑ i=1 V(X i ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 132 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Thí d 3.9. Chiều ao ( m) ủa sinh viên nam là X ∼ N(165; 36), sinh viên nữ là Y ∼ N(155; 64). a. Tìm xá suất 1 sinh viên nữ bất kì ao hơn 1 sinh viên nam bất kì. b. Tìm tỷ lệ sinh viên ao hơn 1,7m. Biết rằng số sinh viên nam bằng số sinh viên nữ. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 133 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.7. Sự hội t ủa quy luật nhị thứ và quy luật Poisson về quy luật huẩn + Nếu X ∼ B(n, p) với n và p thỏa mãn n > 5∣∣√ p 1− p − √ 1− p p ∣∣ 1√ n < 0, 3 thì ó thể oi như X phân phối xấp xỉ quy luật huẩn N(à = np, σ2 = npq). + Nếu X ∼ P(λ) với λ > 20 thì ó thể xem như X phân phối xấp xỉ quy luật huẩn N(à = λ, σ2 = λ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 134 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.7. Sự hội t ủa quy luật nhị thứ và quy luật Poisson về quy luật huẩn + Nếu X ∼ B(n, p) với n và p thỏa mãn n > 5∣∣√ p 1− p − √ 1− p p ∣∣ 1√ n < 0, 3 thì ó thể oi như X phân phối xấp xỉ quy luật huẩn N(à = np, σ2 = npq). + Nếu X ∼ P(λ) với λ > 20 thì ó thể xem như X phân phối xấp xỉ quy luật huẩn N(à = λ, σ2 = λ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 134 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Thí d 3.10. Tiến hành kiểm tra hất lượng 900 hi tiết. Xá suất đượ hi tiết đạt tiêu huẩn là 0,9. Hãy tìm với xá suất 0,9544 xem số hi tiết đạt tiêu huẩn nằm trong khoảng nào xung quanh số hi tiết đạt tiêu huẩn trung bình. 8.8. ứng dng ủa quy luật huẩn Quy luật phân phối huẩn đượ áp dng rộng rãi trong nhiều lĩnh vự khoa họ và đời sống. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 135 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Thí d 3.10. Tiến hành kiểm tra hất lượng 900 hi tiết. Xá suất đượ hi tiết đạt tiêu huẩn là 0,9. Hãy tìm với xá suất 0,9544 xem số hi tiết đạt tiêu huẩn nằm trong khoảng nào xung quanh số hi tiết đạt tiêu huẩn trung bình. 8.8. ứng dng ủa quy luật huẩn Quy luật phân phối huẩn đượ áp dng rộng rãi trong nhiều lĩnh vự khoa họ và đời sống. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 135 / 293 9. Quy luật khi bình phương- χ2(n) Biến ngẫu nhiên liên t χ2 gọi là phân phối theo quy luật khi bình phương với n bậ tự do nếu hàm mật độ xá suất ủa nó ó dạng f(x) = { 0 với x 6 0 1 2 n/2Γ( n 2 ) e x 2 x n 2 −1 với x > 0 trong đó Γ(x) = infty∫ 0 t x−1 e −t dt gọi là hàm Gamma. Kí hiệu: X ∼ χ2(n). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 136 / 293 9. Quy luật khi bình phương- χ2(n) Cá tham số đặ trưng ủa quy luật khi bình phương là E(χ2) = n V(χ2) = 2n P(χ2 > χ2(n)α ) = α trong đó χ 2(n) α là giá trị tới hạn khi bình phương mứ α. Cá giá trị tới hạn này đượ tính sẵn ở bảng ph l 7/ 953. Ví d: χ (14) 0,9 = 7, 79 (vị trí ột α = .9, dòng df = 14) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 137 / 293 9. Quy luật khi bình phương- χ2(n) Tính hất: + Khi n tăng lên thì quy luật khi bình phương xấp xỉ quy luật huẩn. + Nếu χ2 1 ∼ χ2 1 (n 1 ) và χ2 2 ∼ χ2 2 (n 2 ) là á biến ngẫu nhiên độ lập thì χ2 = χ2 1 + χ2 2 ∼ χ2(n 1 + n 2 ) + Giả sử X 1 ,X 2 , ...,X n là á biến ngẫu nhiên độ lập ùng phân phối theo quy luật huẩn hóa. Khi đó ta ó χ2 = n∑ i=1 X 2 i ∼ χ2(n) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 138 / 293 10. Quy luật Student- T(n) Biến ngẫu nhiên liên t T gọi là phân phối theo quy luật Student với n bậ tự do nếu hàm mật độ xá suất ủa nó ó dạng: f(t) = Γ ( n 2 )√ pi(n− 1)Γ(n−1 2 )[1+ t2 n− 1 ]− n 2 ∀t trong đó Γ(x) là hàm Gamma. Kí hiệu: X ∼ T(n). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 139 / 293 10. Quy luật Student- T(n) Cá tham số đặ trưng ủa quy luật Student là: E(T) = 0 với n > 1 V(X) = n n− 2 với n > 2 P(T > t(n)α ) = α trong đó t (n) α là giá trị tới hạn Student mứ α. Cá giá trị này đượ tính sẵn trong bảng ph l 8/ 955. Ví d: t (9) 0,025 = 2, 262, t (24) 0.05 = 1, 711 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 140 / 293 10. Quy luật Student- T(n) Tính hất: + t (n) 1−α = −t(n)α . + Khi só bậ tự do n tăng lên thì phân phối Student hội t nhanh về phân phối huẩn hóa. Do đó nếu n > 30 ó thể dùng phân phối huẩn hóa thay ho phân phối Student. Ví d: t (99) 0,05 ≈ u0,05 = 1, 64 + Giả sử U ∼ N(0, 1) và V ∼ χ2(n) là hai biến ngẫu nhiên độ lập thì T = U√ V n ∼ T(n) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 141 / 293 11. Quy luật Fisher - Snede or- F(n 1 ,n 2 ) Biến ngẫu nhiên liên t F gọi là phân phối theo quy luật Fisher - Snede or với n 1 và n 2 bậ tự do nếu hàm mật độ xá suất ủa nó ó dạng f(x) = 0 với x 6 0 C x n 1 −n 2 2 (n 2 +n 1 x) n 1 +n 2 2 với x > 0 với C = Γ ( n 2 +n 2 2 ) n n 1 2 1 n n 2 2 2 Γ(n1 2 )Γ(n2 2 ) Kí hiệu: F ∼ F(n 1 , n 2 ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 142 / 293 11. Quy luật Fisher - Snede or- F(n 1 ,n 2 ) Cá tham số đặ trưng ủa quy luật Fisher - Snede or là E(F) = n 2 n 2 − 2 V(F) = 2n 2 2 (n 1 + n2 2 − 2) n 1 (n 2 − 2)2(n 2 − 4) P(F > f(n1,n2)α ) = α trong đó f (n 1 ,n 2 ) α giá trị tới hạn Fisher - Snede or mứ α. Tính hất: f (n 1 ,n 2 ) 1−α = 1 f (n 2 ,n 1 ) α Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 143 / 293 11. Quy luật Fisher - Snede or- F(n 1 ,n 2 ) Cá giá trị tới hạn Fisher - Snede or đượ tính sẵn trong bảng ph l 9/ 956, trong đó n 1 = df 1 đặt ở dòng 2, n 2 = df 2 đặt ở ột 1. Ví d: f (12,5) 0,05 = 4,