Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê Toán - Chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất - Mai Cẩm Tú

3 Cá tham số đặ trưng ủa biến ngẫu nhiên. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 66 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 2 1 Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên. 2 Quy luật phân phối xá suất ủa biến ngẫu nhiên. 3 Cá tham số đặ trưng ủa biến ngẫu nhiên. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 66 / 293 2. Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên (BNN) 2.1. Định nghĩa Một biến số đượ gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả ủa php thử nó hỉ nhận một và hỉ một trong á giá trị ó thể ó ủa nó tùy thuộ vào sự tá động ủa á nhân tố ngẫu nhiên. Kí hiệu á BNN là X,Y,Z, ...,X 1 ,X 2 , ... Giá trị ó thể ó ủa BNN là x, x 1 , x 2 , ..., y, ... (X = x 1 ), (X = x 2 ), ... là á biễn ố ngẫu nhiên (X = x 1 ), (X = x 2 ), ..., (X = x n ) là hệ đầy đủ á biến ố. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 67 / 293 2. Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên (BNN) 2.1. Định nghĩa Một biến số đượ gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả ủa php thử nó hỉ nhận một và hỉ một trong á giá trị ó thể ó ủa nó tùy thuộ vào sự tá động ủa á nhân tố ngẫu nhiên. Kí hiệu á BNN là X,Y,Z, ...,X 1 ,X 2 , ... Giá trị ó thể ó ủa BNN là x, x 1 , x 2 , ..., y, ... (X = x 1 ), (X = x 2 ), ... là á biễn ố ngẫu nhiên (X = x 1 ), (X = x 2 ), ..., (X = x n ) là hệ đầy đủ á biến ố. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 67 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN Thí d 2.1. Gọi X là số hấm xuất hiện khi tung một on xú xắ . → X là biến số; và sau khi tung on xú xắ X nhận đúng 1 trong 6 giá trị (1, 2, 3, 4, 5, 6) → X là một BNN. Thí d 2.2. Gọi Y là số người đến đổ xăng tại một trạm xăng trong một ngày. → Y là BNN ó thể nhận á giá trị 0,1,2,... Thí d 2.3. Gọi Z là khoảng á h từ điểm viên đạn hạm bia đến tâm bia. → Z là một BNN, nhận giá trị trên đoạn [0,R℄. Thí d 2.4. Gọi T là thời gian hạy 100m ủa vận động viên A (xt 1 lần hạy bất kì). → T là một BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 68 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN Thí d 2.1. Gọi X là số hấm xuất hiện khi tung một on xú xắ . → X là biến số; và sau khi tung on xú xắ X nhận đúng 1 trong 6 giá trị (1, 2, 3, 4, 5, 6) → X là một BNN. Thí d 2.2. Gọi Y là số người đến đổ xăng tại một trạm xăng trong một ngày. → Y là BNN ó thể nhận á giá trị 0,1,2,... Thí d 2.3. Gọi Z là khoảng á h từ điểm viên đạn hạm bia đến tâm bia. → Z là một BNN, nhận giá trị trên đoạn [0,R℄. Thí d 2.4. Gọi T là thời gian hạy 100m ủa vận động viên A (xt 1 lần hạy bất kì). → T là một BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 68 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN Thí d 2.1. Gọi X là số hấm xuất hiện khi tung một on xú xắ . → X là biến số; và sau khi tung on xú xắ X nhận đúng 1 trong 6 giá trị (1, 2, 3, 4, 5, 6) → X là một BNN. Thí d 2.2. Gọi Y là số người đến đổ xăng tại một trạm xăng trong một ngày. → Y là BNN ó thể nhận á giá trị 0,1,2,... Thí d 2.3. Gọi Z là khoảng á h từ điểm viên đạn hạm bia đến tâm bia. → Z là một BNN, nhận giá trị trên đoạn [0,R℄. Thí d 2.4. Gọi T là thời gian hạy 100m ủa vận động viên A (xt 1 lần hạy bất kì). → T là một BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 68 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN Thí d 2.1. Gọi X là số hấm xuất hiện khi tung một on xú xắ . → X là biến số; và sau khi tung on xú xắ X nhận đúng 1 trong 6 giá trị (1, 2, 3, 4, 5, 6) → X là một BNN. Thí d 2.2. Gọi Y là số người đến đổ xăng tại một trạm xăng trong một ngày. → Y là BNN ó thể nhận á giá trị 0,1,2,... Thí d 2.3. Gọi Z là khoảng á h từ điểm viên đạn hạm bia đến tâm bia. → Z là một BNN, nhận giá trị trên đoạn [0,R℄. Thí d 2.4. Gọi T là thời gian hạy 100m ủa vận động viên A (xt 1 lần hạy bất kì). → T là một BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 68 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN 2.2. Phân loại biến ngẫu nhiên a. BNN rời rạ nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặ đếm đượ . Thí d 2.5. BNN X,Y trong thí d 1, 2 là BNN rời rạ . b. BNN liên t nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lấp đầy một khoảng trên tr số. Thí d 2.6. BNN Z,T trong thí d 3, 4 là BNN liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 69 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN 2.2. Phân loại biến ngẫu nhiên a. BNN rời rạ nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặ đếm đượ . Thí d 2.5. BNN X,Y trong thí d 1, 2 là BNN rời rạ . b. BNN liên t nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lấp đầy một khoảng trên tr số. Thí d 2.6. BNN Z,T trong thí d 3, 4 là BNN liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 69 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN 2.2. Phân loại biến ngẫu nhiên a. BNN rời rạ nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặ đếm đượ . Thí d 2.5. BNN X,Y trong thí d 1, 2 là BNN rời rạ . b. BNN liên t nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lấp đầy một khoảng trên tr số. Thí d 2.6. BNN Z,T trong thí d 3, 4 là BNN liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 69 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN 2.2. Phân loại biến ngẫu nhiên a. BNN rời rạ nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặ đếm đượ . Thí d 2.5. BNN X,Y trong thí d 1, 2 là BNN rời rạ . b. BNN liên t nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lấp đầy một khoảng trên tr số. Thí d 2.6. BNN Z,T trong thí d 3, 4 là BNN liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 69 / 293 3. Quy luật phân phối xá suất (PPXS) ủa biến ngẫu nhiên 3.1. Định nghĩa Quy luật phân phối xá suất ủa biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa á giá trị ó thể ó ủa nó và á xá suất tương ứng với á giá trị đó. Sau đây là á phương thứ để mô tả quy luật phân phối xá suất ủa BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 70 / 293 3. Quy luật phân phối xá suất (PPXS) ủa biến ngẫu nhiên 3.1. Định nghĩa Quy luật phân phối xá suất ủa biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa á giá trị ó thể ó ủa nó và á xá suất tương ứng với á giá trị đó. Sau đây là á phương thứ để mô tả quy luật phân phối xá suất ủa BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 70 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN 3.2. Bảng phân phối xá suất Chỉ dùng để mô tả quy luật phân phối xá suất ủa á BNN rời rạ . Bảng PPXS ủa X ó dạng: X x 1 x 2 ... x i ... x n P p 1 p 2 ... p i ... p n trong đó á p i phải thỏa mãn điều kiện:0 6 pi 6 1 ∀in∑ i=1 p i = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 71 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.7. Trong hộp ó 10 sản phẩm (6 hính phẩm, 4 phế phẩm). Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tìm quy luật phân phối ủa số hính phẩm lấy đượ . Giải Gọi X là "số hính phẩm lấy đượ ". → X = 0, 1, 2 P(X = 0) = C 2 4 C 2 10 = 6 45 = 2 15 P(X = 1) = C 1 4 C 1 6 C 2 10 = 8 15 ; P(X = 2) = C 2 6 C 2 10 = 5 15 X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 72 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.7. Trong hộp ó 10 sản phẩm (6 hính phẩm, 4 phế phẩm). Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tìm quy luật phân phối ủa số hính phẩm lấy đượ . Giải Gọi X là "số hính phẩm lấy đượ ". → X = 0, 1, 2 P(X = 0) = C 2 4 C 2 10 = 6 45 = 2 15 P(X = 1) = C 1 4 C 1 6 C 2 10 = 8 15 ; P(X = 2) = C 2 6 C 2 10 = 5 15 X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 72 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.7. Trong hộp ó 10 sản phẩm (6 hính phẩm, 4 phế phẩm). Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tìm quy luật phân phối ủa số hính phẩm lấy đượ . Giải Gọi X là "số hính phẩm lấy đượ ". → X = 0, 1, 2 P(X = 0) = C 2 4 C 2 10 = 6 45 = 2 15 P(X = 1) = C 1 4 C 1 6 C 2 10 = 8 15 ; P(X = 2) = C 2 6 C 2 10 = 5 15 X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 72 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.7. Trong hộp ó 10 sản phẩm (6 hính phẩm, 4 phế phẩm). Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tìm quy luật phân phối ủa số hính phẩm lấy đượ . Giải Gọi X là "số hính phẩm lấy đượ ". → X = 0, 1, 2 P(X = 0) = C 2 4 C 2 10 = 6 45 = 2 15 P(X = 1) = C 1 4 C 1 6 C 2 10 = 8 15 ; P(X = 2) = C 2 6 C 2 10 = 5 15 X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 72 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.7. Trong hộp ó 10 sản phẩm (6 hính phẩm, 4 phế phẩm). Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tìm quy luật phân phối ủa số hính phẩm lấy đượ . Giải Gọi X là "số hính phẩm lấy đượ ". → X = 0, 1, 2 P(X = 0) = C 2 4 C 2 10 = 6 45 = 2 15 P(X = 1) = C 1 4 C 1 6 C 2 10 = 8 15 ; P(X = 2) = C 2 6 C 2 10 = 5 15 X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 72 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.8. Bắn 4 viên đạn độ lập với XS trúng đều là 0,6. Nếu trúng 2 viên liên tiếp hoặ hết đạn thì dừng bắn. Lập bảng PPXS ủa số viên đạn đượ sử dng. Giải Gọi X là "số viên đạn đượ sử dng". → X = 2, 3, 4 A i = "viên thứ i trúng" (i=1, 2, 3) P(X = 2) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) = 0, 62 = 0, 36 P(X = 3) = P(A 1 A 2 A 3 ) = 0, 4.0, 6.0, 6 = 0, 144→ P(X = 4) = 0, 496 X 2 3 4 P 0,36 0,144 0,496 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 73 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.8. Bắn 4 viên đạn độ lập với XS trúng đều là 0,6. Nếu trúng 2 viên liên tiếp hoặ hết đạn thì dừng bắn. Lập bảng PPXS ủa số viên đạn đượ sử dng. Giải Gọi X là "số viên đạn đượ sử dng". → X = 2, 3, 4 A i = "viên thứ i trúng" (i=1, 2, 3) P(X = 2) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) = 0, 62 = 0, 36 P(X = 3) = P(A 1 A 2 A 3 ) = 0, 4.0, 6.0, 6 = 0, 144→ P(X = 4) = 0, 496 X 2 3 4 P 0,36 0,144 0,496 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 73 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.8. Bắn 4 viên đạn độ lập với XS trúng đều là 0,6. Nếu trúng 2 viên liên tiếp hoặ hết đạn thì dừng bắn. Lập bảng PPXS ủa số viên đạn đượ sử dng. Giải Gọi X là "số viên đạn đượ sử dng". → X = 2, 3, 4 A i = "viên thứ i trúng" (i=1, 2, 3) P(X = 2) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) = 0, 62 = 0, 36 P(X = 3) = P(A 1 A 2 A 3 ) = 0, 4.0, 6.0, 6 = 0, 144→ P(X = 4) = 0, 496 X 2 3 4 P 0,36 0,144 0,496 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 73 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.8. Bắn 4 viên đạn độ lập với XS trúng đều là 0,6. Nếu trúng 2 viên liên tiếp hoặ hết đạn thì dừng bắn. Lập bảng PPXS ủa số viên đạn đượ sử dng. Giải Gọi X là "số viên đạn đượ sử dng". → X = 2, 3, 4 A i = "viên thứ i trúng" (i=1, 2, 3) P(X = 2) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) = 0, 62 = 0, 36 P(X = 3) = P(A 1 A 2 A 3 ) = 0, 4.0, 6.0, 6 = 0, 144→ P(X = 4) = 0, 496 X 2 3 4 P 0,36 0,144 0,496 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 73 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.8. Bắn 4 viên đạn độ lập với XS trúng đều là 0,6. Nếu trúng 2 viên liên tiếp hoặ hết đạn thì dừng bắn. Lập bảng PPXS ủa số viên đạn đượ sử dng. Giải Gọi X là "số viên đạn đượ sử dng". → X = 2, 3, 4 A i = "viên thứ i trúng" (i=1, 2, 3) P(X = 2) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) = 0, 62 = 0, 36 P(X = 3) = P(A 1 A 2 A 3 ) = 0, 4.0, 6.0, 6 = 0, 144→ P(X = 4) = 0, 496 X 2 3 4 P 0,36 0,144 0,496 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 73 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN 3.3. Hàm phân bố xá suất Dùng ho ả BNN rời rạ và BNN liên t . a. Định nghĩa. Hàm phân bố xá suất ủa biến ngẫu nhiên X, kí hiệu F(x), là xá suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thự bất kì. F(x) = P(X < x), ∀x ∈ R Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạ thì: F(x) = ∑ i:x i <x p i Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 74 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.9. Tìm hàm phân bố xá suất ủa biến ngẫu nhiên X trong thí d 2.7 và vẽ đồ thị ủa hàm này. Giải Từ bảng ta tìm đượ hàm phân bố XS: F(x) =  0 với x 6 0 2 15 với 0 < x 6 1 10 15 với 1 < x 6 2 1 với 2 < x Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 75 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.9. Tìm hàm phân bố xá suất ủa biến ngẫu nhiên X trong thí d 2.7 và vẽ đồ thị ủa hàm này. Giải Từ bảng ta tìm đượ hàm phân bố XS: F(x) =  0 với x 6 0 2 15 với 0 < x 6 1 10 15 với 1 < x 6 2 1 với 2 < x Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 75 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Đồ thị ủa hàm F(x) như sau 0 1 2 x F(x) 2/15 10/15 1 Nhận xt. Đồ thị ủa ó dạng bậ thang Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 76 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm phân bố xá suất. Tính hất 1. 0 6 F(x) 6 1. Tính hất 2. Với x 2 > x 1 thì F(X 2 ) > F(x 1 ). Hệ quả 1. P(a 6 X < b) = F(b)− F(a). Hệ quả 2. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì P(X = x) = 0. Hệ quả 3. Với X là biến ngẫu nhiên liên t thì: P(a 6 X 6 b) = P(a 6 X < b = ... = P(a < X < b) Tính hất 3. F(−∞) = 0; F(+∞) = 1 Hệ quả 4. Nếu X hỉ nhận giá trị trong đoạn [a, b] thì + với x 6 a,F(x) = 0 và + với x > b,F(x) = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 77 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm phân bố xá suất. Tính hất 1. 0 6 F(x) 6 1. Tính hất 2. Với x 2 > x 1 thì F(X 2 ) > F(x 1 ). Hệ quả 1. P(a 6 X < b) = F(b)− F(a). Hệ quả 2. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì P(X = x) = 0. Hệ quả 3. Với X là biến ngẫu nhiên liên t thì: P(a 6 X 6 b) = P(a 6 X < b = ... = P(a < X < b) Tính hất 3. F(−∞) = 0; F(+∞) = 1 Hệ quả 4. Nếu X hỉ nhận giá trị trong đoạn [a, b] thì + với x 6 a,F(x) = 0 và + với x > b,F(x) = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 77 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm phân bố xá suất. Tính hất 1. 0 6 F(x) 6 1. Tính hất 2. Với x 2 > x 1 thì F(X 2 ) > F(x 1 ). Hệ quả 1. P(a 6 X < b) = F(b)− F(a). Hệ quả 2. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì P(X = x) = 0. Hệ quả 3. Với X là biến ngẫu nhiên liên t thì: P(a 6 X 6 b) = P(a 6 X < b = ... = P(a < X < b) Tính hất 3. F(−∞) = 0; F(+∞) = 1 Hệ quả 4. Nếu X hỉ nhận giá trị trong đoạn [a, b] thì + với x 6 a,F(x) = 0 và + với x > b,F(x) = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 77 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm phân bố xá suất. Tính hất 1. 0 6 F(x) 6 1. Tính hất 2. Với x 2 > x 1 thì F(X 2 ) > F(x 1 ). Hệ quả 1. P(a 6 X < b) = F(b)− F(a). Hệ quả 2. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì P(X = x) = 0. Hệ quả 3. Với X là biến ngẫu nhiên liên t thì: P(a 6 X 6 b) = P(a 6 X < b = ... = P(a < X < b) Tính hất 3. F(−∞) = 0; F(+∞) = 1 Hệ quả 4. Nếu X hỉ nhận giá trị trong đoạn [a, b] thì + với x 6 a,F(x) = 0 và + với x > b,F(x) = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 77 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm phân bố xá suất. Tính hất 1. 0 6 F(x) 6 1. Tính hất 2. Với x 2 > x 1 thì F(X 2 ) > F(x 1 ). Hệ quả 1. P(a 6 X < b) = F(b)− F(a). Hệ quả 2. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì P(X = x) = 0. Hệ quả 3. Với X là biến ngẫu nhiên liên t thì: P(a 6 X 6 b) = P(a 6 X < b = ... = P(a < X < b) Tính hất 3. F(−∞) = 0; F(+∞) = 1 Hệ quả 4. Nếu X hỉ nhận giá trị trong đoạn [a, b] thì + với x 6 a,F(x) = 0 và + với x > b,F(x) = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 77 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.10. Biến ngẫu nhiên X ó hàm phân bố xá suất như sau F(x) =  0 với x 6 2 1 2 x− 1 với 2 < x 6 4 1 với 4 < x a. Tìm P(X 2, 6) b. Tìm P(2 6 x < 3) . ý nghĩa. Hàm phân bố xá suất phản ánh mứ độ tập trung xá suất ở về phía bên trái một số thự x nào đó. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 78 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.10. Biến ngẫu nhiên X ó hàm phân bố xá suất như sau F(x) =  0 với x 6 2 1 2 x− 1 với 2 < x 6 4 1 với 4 < x a. Tìm P(X 2, 6) b. Tìm P(2 6 x < 3) . ý nghĩa. Hàm phân bố xá suất phản ánh mứ độ tập trung xá suất ở về phía bên trái một số thự x nào đó. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 78 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN 3.4. Hàm mật độ xá suất Chỉ dùng ho biến ngẫu nhiên liên t . a. Định nghĩa. Hàm mât độ xá suất ủa biến ngẫu nhiên liên t X, kí hiệu f(x), là đạo hàm bậ nhất ủa hàm phân bố xá suất ủa biến ngẫu nhiên đó. f(x) = F′(x) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 79 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm mật độ xá suất Tính hất 1. f(x) > 0, ∀x. Tính hất 2. +∞∫ −∞ f(x)dx = 1. Tính hất 3. F(x) = x∫ −∞ f(x)dx. Tính hất 4. P(a < X < b) = b∫ a f(x)dx. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 80 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm mật độ xá suất Tính hất 1. f(x) > 0, ∀x. Tính hất 2. +∞∫ −∞ f(x)dx = 1. Tính hất 3. F(x) = x∫ −∞ f(x)dx. Tính hất 4. P(a < X < b) = b∫ a f(x)dx. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 80 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm mật độ xá suất Tính hất 1. f(x) > 0, ∀x. Tính hất 2. +∞∫ −∞ f(x)dx = 1. Tính hất 3. F(x) = x∫ −∞ f(x)dx. Tính hất 4. P(a < X < b) = b∫ a f(x)dx. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 80 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm mật độ xá suất Tính hất 1. f(x) > 0, ∀x. Tính hất 2. +∞∫ −∞ f(x)dx = 1. Tính hất 3. F(x) = x∫ −∞ f(x)dx. Tính hất 4. P(a < X < b) = b∫ a f(x)dx. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 80 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm mật độ xá suất Tính hất 1. f(x) > 0, ∀x. Tính hất 2. +∞∫ −∞ f(x)dx = 1. Tính hất 3. F(x) = x∫ −∞ f(x)dx. Tính hất 4. P(a < X < b) = b∫ a f(x)dx. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 80 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Chú ý Từ tính hất 1 và 2 ta ó điều kiện để hàm f(x) là hàm mật độ XS ủa một BNN là: f(x) > 0 +∞∫ −∞ f(x)dx = 1 Thí d 2.11. Hàm mật độ XS ủa BNN liên t X: f(x) = { 0 với x /∈ (5; 15) k với x ∈ (5; 15) a. Xá định k. Vẽ đồ thị ủa f(x). b. Xá định F(x). . Tìm XS để X nhận giá trị thuộ (5;6) và (6;7) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 81 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Chú ý Từ tính hất 1 và 2 ta ó điều kiện để hàm f(x) là hàm mật độ XS ủa một BNN là: f(x) > 0 +∞∫ −∞ f(x)dx = 1 Thí d 2.11. Hàm mật độ XS ủa BNN liên t X: f(x) = { 0 với x /∈ (5; 15) k với x ∈ (5; 15) a. Xá định k. Vẽ đồ thị ủa f(x). b. Xá định F(x). . Tìm XS để X nhận giá trị thuộ (5;6) và (6;7) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 81 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.12. Cho biến ngẫu nhiên liên t X ó hàm phân bố xá suất F(x) =  0 ; x 6 2 kx 2; x ∈ (2; 4) 1 ; x > 4 a) Tìm k và hàm f(x) b) Tìm á xá suất sau: P(1 < X < 3); P(1 < X); P(X < 1, 5) . ý nghĩa. Hàm mật độ xá suất ủa biến ngẫu nhiên X tại mỗi điểm x ho biết mứ độ tập trung xá suất tại điểm đó. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 82 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.12. Cho biến ngẫu nhiên liên t X ó hàm phân bố xá suất F(x) =  0 ; x 6 2 kx 2; x ∈ (2; 4) 1 ; x > 4 a) Tìm k và hàm f(x) b) Tìm á xá suất sau: P(1 < X < 3); P(1 < X); P(X < 1, 5) . ý nghĩa. Hàm mật độ xá suất ủa biến ngẫu nhiên X tại mỗi điểm x ho biết mứ độ tập trung xá suất tại điểm đó. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 82 / 293 --------------------------------------------------------- Ta xt á khái niệm sau: • Hai biến ngẫu nhiên độ lập với nhau. • Cá biến ngẫu nhiên độ lập lẫn nhau. • Tổng ủa hai biến ngẫu nhiên X&Y là biến ngẫu nhiên X+ Y • Tí h ủa hai biến ngẫu nhiên X và Y là biến ngẫu nhiên X.Y ------------------------------------------------------- Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 83 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa biến ngẫu nhiên 4.1. Kì vọng toán a. Định nghĩa. Kì vọng toán ủa biến ngẫu nhiên X, kí hiệu E(X), đượ xá định như sau: Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạ thì E(X) = n∑ i=1 x i p i Nếu X là bnn liên t với hàm mật độ xá suất f(x) thì E(X) = +∞∫ −∞ xf(x)dx Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 84 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa biến ngẫu nhiên 4.1. Kì vọng toán a. Định nghĩa. Kì vọng toán ủa biến ngẫu nhiên X, kí hiệu E(X), đượ xá định như sau: Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạ thì E(X) = n∑ i=1 x i p i Nếu X là bnn liên t với hàm mật độ xá suất f(x) thì E(X) = +∞∫ −∞ xf(x)dx Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 84 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa biến ngẫu nhiên 4.1. Kì vọng toán a. Định nghĩa. Kì vọng toán ủa biến ngẫu nhiên X, kí hiệu E(X), đượ xá định như sau: Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạ thì E(X) = n∑ i=1 x i p i Nếu X là bnn liên t với hàm mật độ xá suất f(x) thì E(X) = +∞∫ −∞ xf(x)dx Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 84 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN Chú ý: Đơn vị ủa E(X) ũng hính là đơn vị ủa X. Thí d 2.13. Tìm kì vọng toán ủa BNN X ó bảng PPXS: X 1 3 4 p 0,1 0,5 0,4 Thí d 2.14. Tìm kì vọng toán ủa BNN liên t X ó hàm mật độ xá suất: f(x) = { 2x với x ∈ (0, 1) 0 với x /∈ (0, 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 85 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN Chú ý: Đơn vị ủa E(X) ũng hính là đơn vị ủa X. Thí d 2.13. Tìm kì vọng toán ủa BNN X ó bảng PPXS: X 1 3 4 p 0,1 0,5 0,4 Thí d 2.14. Tìm kì vọng toán ủa BNN liên t X ó hàm mật độ xá suất: f(x) = { 2x với x ∈ (0, 1) 0 với x /∈ (0, 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 85 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN Chú ý: Đơn vị ủa E(X) ũng hính là đơn vị ủa X. Thí d 2.13. Tìm kì vọng toán ủa BNN X ó bảng PPXS: X 1 3 4 p 0,1 0,5 0,4 Thí d 2.14. Tìm kì vọng toán ủa BNN liên t X ó hàm mật độ xá suất: f(x) = { 2x với x ∈ (0, 1) 0 với x /∈ (0, 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 85 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN b. Cá tính hất ủa kì vọng toán Tính hất 1. E(C) = C. Tính hất 2. E(CX) = C.E(X). Tính hất 3. E(X+ Y) = E(X) + E(Y). Hệ quả 1. E( n∑ i=1 X i ) = n∑ i=1 E(X i ). Tính hất 4. Nếu X và Y là á BNN độ lập thì: E(X.Y) = E(X).E(Y) Hệ quả 2. Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n là n BNN độ lập lẫn nhau thì E( n∏ i=1 X i ) = n∏ i=1 E(X i ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 86 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN b. Cá tính hất ủa kì vọng toán Tính hất 1. E(C) = C. Tính hất 2. E(CX) = C.E(X). Tính hất 3. E(X+ Y) = E(X) + E(Y). Hệ quả 1. E( n∑ i=1 X i ) = n∑ i=1 E(X i ). Tính hất 4. Nếu X và Y là á BNN độ lập thì: E(X.Y) = E(X).E(Y) Hệ quả 2. Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n là n BNN độ lập lẫn nhau thì E( n∏ i=1 X i ) = n∏ i=1 E(X i ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 86 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN b. Cá tính hất ủa kì vọng toán Tính hất 1. E(C) = C. Tính hất 2. E(CX) = C.E(X). Tính hất 3. E(X+ Y) = E(X) + E(Y). Hệ quả 1. E( n∑ i=1 X i ) = n∑ i=1 E(X i ). Tính hất 4. Nếu X và Y là á BNN độ lập thì: E(X.Y) = E(X).E(Y) Hệ quả 2. Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n là n BNN độ lập lẫn nhau thì E( n∏ i=1 X i ) = n∏ i=1 E(X i ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 86 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN b. Cá tính hất ủa kì vọng toán Tính hất 1. E(C) = C. Tính hất 2. E(CX) = C.E(X). Tính hất 3. E(X+ Y) = E(X) + E(Y). Hệ quả 1. E( n∑ i=1 X i ) = n∑ i=1 E(X i ). Tính hất 4. Nếu X và Y là á BNN độ lập thì: E(X.Y) = E(X).E(Y) Hệ quả 2. Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n là n BNN độ lập lẫn nhau thì E( n∏ i=1 X i ) = n∏ i=1 E(X i ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 86 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN b. Cá tính hất ủa kì vọng toán Tính hất 1. E(C) = C. Tính hất 2. E(CX) = C.E(X). Tính hất 3. E(X+ Y) = E(X) + E(Y). Hệ quả 1. E( n∑ i=1 X i ) = n∑ i=1 E(X i ). Tính hất 4. Nếu X và Y là á BNN độ lập thì: E(X.Y) = E(X).E(Y) Hệ quả 2. Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n là n BNN độ lập lẫn nhau thì E( n∏ i=1 X i ) = n∏ i=1 E(X i ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 86 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN b. Cá tính hất ủa kì vọng toán Tính hất 1. E(C) = C. Tính hất 2. E(CX) = C.E(X). Tính hất 3. E(X+ Y) = E(X) + E(Y). Hệ quả 1. E( n∑ i=1 X i ) = n∑ i=1 E(X i ). Tính hất 4. Nếu X và Y là á BNN độ lập thì: E(X.Y) = E(X).E(Y) Hệ quả 2. Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n là n BNN độ lập lẫn nhau thì E( n∏ i=1 X i ) = n∏ i=1 E(X i ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 86 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN . Bản hất và ý nghĩa ủa kì vọng toán d. ứng dng thự tế ủa kì vọng toán Trong kinh tế, kì vọng toán là một tiêu huẩn ra quyết định trong tình huống ần lựa họn giữa nhiều hiến lượ khá nhau. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 87 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN . Bản hất và ý nghĩa ủa kì vọng toán d. ứng dng thự tế ủa kì vọng toán Trong kinh tế, kì vọng toán là một tiêu huẩn ra quyết định trong tình huống ần lựa họn giữa nhiều hiến lượ khá nhau. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 87 / 293 Thí d 2.15. Một người làm việ đượ lựa họn một trong hai phương án thanh toán sau: Phương án 1: Nhận tiền ông 1 triệu. Phương án 2: Nếu hoàn tất ả ông việ thì đượ 3 triệu; nếu không hỉ đượ 100 ngàn a) Biết khả năng để hoàn tất ông việ là 50%. Nếu quan tâm đến kì vọng số tiền nhận đượ thì nên họn phương án nào. b) Người này quan tâm tới kì vọng số tiền nhận đượ và đã họn phương án 2. Người này đã đánh giá khả năng hoàn tất ông việ như thế nào? Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 88 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN 4.2. Trung vị Trung vị, kí hiệu m d , là giá trị nằm ở hính giữa tập hợp á giá trị ó thể ó ủa biến ngẫu nhiên. 4.3. Mốt Mốt, kí hiệu m 0 , là giá trị ủa biến ngẫu nhiên tương ứng với: + Xá suất lớn nhất nếu là biến ngẫu nhiên rời rạ , + Cự đại ủa hàm mật độ xá suất nếu là biến ngẫu nhiên liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 89 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN 4.2. Trung vị Trung vị, kí hiệu m d , là giá trị nằm ở hính giữa tập hợp á giá trị ó thể ó ủa biến ngẫu nhiên. 4.3. Mốt Mốt, kí hiệu m 0 , là giá trị ủa biến ngẫu nhiên tương ứng với: + Xá suất lớn nhất nếu là biến ngẫu nhiên rời rạ , + Cự đại ủa hàm mật độ xá suất nếu là biến ngẫu nhiên liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 89 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN 4.4. Phương sai a. Định nghĩa. Phương sai ủa biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là V(X), là kì vọng toán ủa bình phương sai lệ h ủa biến ngẫu nhiên so với kì vọng toán ủa nó. V(X) = E[X− E(X)]2 Biến đổi: V(X) = E[X− E(X)]2 = E[X2 − 2X.E(X) + (E(X))2] = E(X2)− 2E(X).E(X) + [E(X)]2 = E(X2)− [E(X)]2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 90 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN 4.4. Phương sai a. Định nghĩa. Phương sai ủa biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là V(X), là kì vọng toán ủa bình phương sai lệ h ủa biến ngẫu nhiên so với kì vọng toán ủa nó. V(X) = E[X− E(X)]2 Biến đổi: V(X) = E[X− E(X)]2 = E[X2 − 2X.E(X) + (E(X))2] = E(X2)− 2E(X).E(X) + [E(X)]2 = E(X2)− [E(X)]2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 90 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN + Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạ thì V(X) = n∑ i=1 x 2 i p i − [E(X)]2 + Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì V(X) = +∞∫ −∞ x 2 f(x)dx− [E(X)]2 Chú ý: Từ ông thứ tính phương sai ta ó + V(X) > 0 vối mọi biến ngẫu nhiên X. + Đơn vị ủa phương sai là bình phương đơn vị ủa BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 91 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN + Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạ thì V(X) = n∑ i=1 x 2 i p i − [E(X)]2 + Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì V(X) = +∞∫ −∞ x 2 f(x)dx− [E(X)]2 Chú ý: Từ ông thứ tính phương sai ta ó + V(X) > 0 vối mọi biến ngẫu nhiên X. + Đơn vị ủa phương sai là bình phương đơn vị ủa BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 91 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN Thí d 2.16. Tìm phương sai ủa BNN X ó bảng phân phối xá suất : X 1 3 4 p 0,1 0,5 0,4 Thí d 2.17. Tìm phương sai ủa BNN liên t X ó hàm mật độ xá suất: f(x) = { 2x với x ∈ (0, 1) 0 với x /∈ (0, 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 92 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN Thí d 2.16. Tìm phương sai ủa BNN X ó bảng phân phối xá suất : X 1 3 4 p 0,1 0,5 0,4 Thí d 2.17. Tìm phương sai ủa BNN liên t X ó hàm mật độ xá suất: f(x) = { 2x với x ∈ (0, 1) 0 với x /∈ (0, 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 92 / 293 4. Cá tham s