Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê Toán - Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất - Mai Cẩm Tú

yết Xá suất và Thống kê Toán 2012 3 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 1 1 Cá khái niệm nền tảng ủa xá suất. 2 Cá định nghĩa xá suất. 3 Hai nguyên lý ơ bản ủa xá suất. 4 Cá định lý xá suất dùng để tìm xá suất ủa á biến ố phứ hợp. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 4 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 1 1 Cá khái niệm nền tảng ủa xá suất. 2 Cá định nghĩa xá suất. 3 Hai nguyên lý ơ bản ủa xá suất. 4 Cá định lý xá suất dùng để tìm xá suất ủa á biến ố phứ hợp. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 4 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 1 1 Cá khái niệm nền tảng ủa xá suất. 2 Cá định nghĩa xá suất. 3 Hai nguyên lý ơ bản ủa xá suất. 4 Cá định lý xá suất dùng để tìm xá suất ủa á biến ố phứ hợp. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 4 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 1 1 Cá khái niệm nền tảng ủa xá suất. 2 Cá định nghĩa xá suất. 3 Hai nguyên lý ơ bản ủa xá suất. 4 Cá định lý xá suất dùng để tìm xá suất ủa á biến ố phứ hợp. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 4 / 293 2. Php thử và á loại biến ố 2.1. Php thử và biến ố + Trong lý thuyết xá suất, việ thự hiện một nhóm á điều kiện ơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó ó xảy ra hay không đượ gọi là thự hiện một php thử. + Hiện tượng ó thể xảy ra trong kết quả ủa php thử đó đượ gọi là biến ố. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 5 / 293 2. Php thử và á loại biến ố 2.1. Php thử và biến ố + Trong lý thuyết xá suất, việ thự hiện một nhóm á điều kiện ơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó ó xảy ra hay không đượ gọi là thự hiện một php thử. + Hiện tượng ó thể xảy ra trong kết quả ủa php thử đó đượ gọi là biến ố. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 5 / 293 2. Php thử và á loại biến ố Thí d 1.1. 1, Tung một on xú xắ ân đối, đồng hất trên mặt phẳng ứng thì + Việ tung on xú xắ là thự hiện một php thử + Nhóm á điều kiện ơ bản + Sau khi tung đượ mặt nào đó là biến ố, hẳng hạn biến ố đượ mặt 1 hấm, biến ố đượ mặt hẵn hấm,... 2, Một nhân viên tiếp thị đến 10 ông ty khá nhau để bán hàng thì tùy từng trường hợp ó thể oi là 1 php thử hoặ 10 php thử. Việ ó bán đượ hàng hay không là biến ố. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 6 / 293 2. Php thử và á loại biến ố Thí d 1.1. 1, Tung một on xú xắ ân đối, đồng hất trên mặt phẳng ứng thì + Việ tung on xú xắ là thự hiện một php thử + Nhóm á điều kiện ơ bản + Sau khi tung đượ mặt nào đó là biến ố, hẳng hạn biến ố đượ mặt 1 hấm, biến ố đượ mặt hẵn hấm,... 2, Một nhân viên tiếp thị đến 10 ông ty khá nhau để bán hàng thì tùy từng trường hợp ó thể oi là 1 php thử hoặ 10 php thử. Việ ó bán đượ hàng hay không là biến ố. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 6 / 293 2. Php thử và á loại biến ố 2.2. Cá loại biến ố + Biến ố hắ hắn là biến ố nhất định sẽ xảy ra khi thự hiện php thử, kí hiệu U. + Biến ố không thể ó là biến ố nhất định không xảy ra khi thự hiện php thử, kí hiệu V. + Biến ố ngẫu nhiên là biến ố ó thể xảy ra hoặ không xảy ra khi thự hiện php thử, kí hiệu là A, B, C, ..., A 1 ,A 2 , ... Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 7 / 293 2. Php thử và á loại biến ố 2.2. Cá loại biến ố + Biến ố hắ hắn là biến ố nhất định sẽ xảy ra khi thự hiện php thử, kí hiệu U. + Biến ố không thể ó là biến ố nhất định không xảy ra khi thự hiện php thử, kí hiệu V. + Biến ố ngẫu nhiên là biến ố ó thể xảy ra hoặ không xảy ra khi thự hiện php thử, kí hiệu là A, B, C, ..., A 1 ,A 2 , ... Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 7 / 293 2. Php thử và á loại biến ố 2.2. Cá loại biến ố + Biến ố hắ hắn là biến ố nhất định sẽ xảy ra khi thự hiện php thử, kí hiệu U. + Biến ố không thể ó là biến ố nhất định không xảy ra khi thự hiện php thử, kí hiệu V. + Biến ố ngẫu nhiên là biến ố ó thể xảy ra hoặ không xảy ra khi thự hiện php thử, kí hiệu là A, B, C, ..., A 1 ,A 2 , ... Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 7 / 293 2. Php thử và á loại biến ố Thí d 1.2. Tung một on xú xắ ân đối và đồng hất trên mặt phẳng ứng, gọi V là biến ố "đượ mặt ó số hấm nhỏ hơn 0", A là biến ố "đượ mặt 2 hấm", U là biến ố "đượ mặt ó số hấm nhỏ hơn 7". Khi đó V là biến ố không thể ó, A là biến ố ngẫu nhiên, U là biến ố hắ hắn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 8 / 293 2. Php thử và á loại biến ố Thí d 1.2. Tung một on xú xắ ân đối và đồng hất trên mặt phẳng ứng, gọi V là biến ố "đượ mặt ó số hấm nhỏ hơn 0", A là biến ố "đượ mặt 2 hấm", U là biến ố "đượ mặt ó số hấm nhỏ hơn 7". Khi đó V là biến ố không thể ó, A là biến ố ngẫu nhiên, U là biến ố hắ hắn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 8 / 293 3. Xá suất ủa biến ố Xá suất ủa một biến ố là một on số đặ trưng khả năng khá h quan xuất hiện biến ố đó khi thự hiện php thử. Kí hiệu xá suất ủa biến ố A là P(A). Bản hất: xá suất ủa một biến ố là một on số xá định. Thí d 1.3. Xá suất để đượ mặt sấp khi gieo đồng xu là 0,5. Xá suất để đượ mặt 6 hấm khi gieo on xú xắ là 1/6. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 9 / 293 3. Xá suất ủa biến ố Xá suất ủa một biến ố là một on số đặ trưng khả năng khá h quan xuất hiện biến ố đó khi thự hiện php thử. Kí hiệu xá suất ủa biến ố A là P(A). Bản hất: xá suất ủa một biến ố là một on số xá định. Thí d 1.3. Xá suất để đượ mặt sấp khi gieo đồng xu là 0,5. Xá suất để đượ mặt 6 hấm khi gieo on xú xắ là 1/6. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 9 / 293 3. Xá suất ủa biến ố Nếu xt theo khả năng tìm xá suất thì á biến ố ó thể hia làm 2 loại: + Biến ố đơn giản: là biến ố không thể hia nhỏ thành á bộ phận hợp thành. + Biến ố phứ hợp: là biến ố ó thể phân hia thành nhiều biến ố đơn giản (bằng á h dùng á khái niệm tổng hoặ tí h á biến ố). Thí d 1.4. Gieo một on xú xắ + A i = 'Xuất hiện mặt i hấm' (i = 1, 6) → A i là á biến ố đơn giản + A = 'Xuất hiện mặt lẻ hấm' B = 'Xuất hiện mặt ó số hấm nhỏ hơn 3' → A và B là á biến ố phứ hợp. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 10 / 293 3. Xá suất ủa biến ố Nếu xt theo khả năng tìm xá suất thì á biến ố ó thể hia làm 2 loại: + Biến ố đơn giản: là biến ố không thể hia nhỏ thành á bộ phận hợp thành. + Biến ố phứ hợp: là biến ố ó thể phân hia thành nhiều biến ố đơn giản (bằng á h dùng á khái niệm tổng hoặ tí h á biến ố). Thí d 1.4. Gieo một on xú xắ + A i = 'Xuất hiện mặt i hấm' (i = 1, 6) → A i là á biến ố đơn giản + A = 'Xuất hiện mặt lẻ hấm' B = 'Xuất hiện mặt ó số hấm nhỏ hơn 3' → A và B là á biến ố phứ hợp. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 10 / 293 3. Xá suất ủa biến ố Nếu xt theo khả năng tìm xá suất thì á biến ố ó thể hia làm 2 loại: + Biến ố đơn giản: là biến ố không thể hia nhỏ thành á bộ phận hợp thành. + Biến ố phứ hợp: là biến ố ó thể phân hia thành nhiều biến ố đơn giản (bằng á h dùng á khái niệm tổng hoặ tí h á biến ố). Thí d 1.4. Gieo một on xú xắ + A i = 'Xuất hiện mặt i hấm' (i = 1, 6) → A i là á biến ố đơn giản + A = 'Xuất hiện mặt lẻ hấm' B = 'Xuất hiện mặt ó số hấm nhỏ hơn 3' → A và B là á biến ố phứ hợp. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 10 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất 4.1. Thí d 4.2. Định nghĩa Xá suất xuất hiện biến ố A trong một php thử là tỷ số giữa số kết  thuận lợi ho A và tổng số á kết  duy nhất đồng khả năng ó thể xảy ra khi thự hiện php thử đó. P(A) = m n Trong đó P(A) là xá suất ủa biến ố A, m là số kết  thuận lợi ho biến ố A, n là số kết  duy nhất đồng khả năng ủa php thử. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 11 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất 4.3. Cá tính hất ủa xá suất Nếu A là biến ố ngẫu nhiên thì 0 < P(A) < 1. P(U) = 1. P(V) = 0 . Vậy nếu A là một biến ố bất kỳ thì 0 6 P(A) 6 1. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 12 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất 4.3. Cá tính hất ủa xá suất Nếu A là biến ố ngẫu nhiên thì 0 < P(A) < 1. P(U) = 1. P(V) = 0 . Vậy nếu A là một biến ố bất kỳ thì 0 6 P(A) 6 1. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 12 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất 4.3. Cá tính hất ủa xá suất Nếu A là biến ố ngẫu nhiên thì 0 < P(A) < 1. P(U) = 1. P(V) = 0 . Vậy nếu A là một biến ố bất kỳ thì 0 6 P(A) 6 1. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 12 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất 4.3. Cá tính hất ủa xá suất Nếu A là biến ố ngẫu nhiên thì 0 < P(A) < 1. P(U) = 1. P(V) = 0 . Vậy nếu A là một biến ố bất kỳ thì 0 6 P(A) 6 1. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 12 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất 4.3. Cá tính hất ủa xá suất Nếu A là biến ố ngẫu nhiên thì 0 < P(A) < 1. P(U) = 1. P(V) = 0 . Vậy nếu A là một biến ố bất kỳ thì 0 6 P(A) 6 1. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 12 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất 4.4. Cá phương pháp tính xá suất bằng định nghĩa ổ điển a. Phương pháp suy luận trự tiếp Sử dng khi số kết  trong php thử là khá nhỏ và việ suy đoán là đơn giản. Thí d 1.5. Trong hộp ó 10 quả ầu (3 quả ầu trắng và 7 quả ầu đen). Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 quả ầu. Tìm xá suất để đượ quả ầu trắng. Giải A = "lấy đượ ầu trắng" → P(A) = 3 10 = 0, 3 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 13 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất 4.4. Cá phương pháp tính xá suất bằng định nghĩa ổ điển a. Phương pháp suy luận trự tiếp Sử dng khi số kết  trong php thử là khá nhỏ và việ suy đoán là đơn giản. Thí d 1.5. Trong hộp ó 10 quả ầu (3 quả ầu trắng và 7 quả ầu đen). Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 quả ầu. Tìm xá suất để đượ quả ầu trắng. Giải A = "lấy đượ ầu trắng" → P(A) = 3 10 = 0, 3 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 13 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất b. Phương pháp dùng sơ đồ Khi số kết  là khá lớn và việ suy đoán phứ tạp hơn thì ta ó thể dùng sơ đồ hình ây, dạng bảng hoặ sơ đồ dạng tập hợp để tìm xá suất. • Sơ đồ hình ây Thí d 1.6. Giả sử xá suất sinh on trai và on gái là như nhau. Một gia đình ó 3 on. Tìm xá suất để gia đình đó ó 2 on gái. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 14 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất G T G G G G G G T T T T T T GGG GGT GTG GTT TGG TGT TTG TTT Con đầu Con thứ hai Con thứ ba Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 15 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất • Sơ đồ dạng bảng Thí d 1.7. Tung một on xú xắ ân đối và đồng hất 2 lần. Tìm xá suất để trong đó ó ít nhất một lần đượ mặt 6 hấm. II 1 2 3 4 5 6 I 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 16 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất • Sơ đồ dạng tập hợp Thí d 1.8. Một lớp ó 50 họ sinh, trong đó ó 30 họ sinh giỏi Toán, 20 họ sinh giỏi Văn và 15 họ sinh giỏi ả Toán và Văn. Tìm xá suất để khi lấy ngẫu nhiên một họ sinh thì người đó không giỏi Toán và không giỏi Văn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 17 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất 15 Toán 15 515 Văn Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 18 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất . Phương pháp dùng ông thứ ủa giải tí h tổ hợp Dùng khi số kết  ủa php thử là rất lớn + Số hỉnh hợp hập k từ n phần tử (kí hiệu: A k n ): là số á h lấy từ một bộ ó n phần tử lấy ra một bộ ó thứ tự gồm k phần tử khá nhau A k n = n! (n− k)! (0 6 k 6 n) + Số hỉnh hợp lặp k từ n phần tử (kí hiệu: A k n ): là số á h lấy từ một bộ ó n phần tử lấy ra một bộ ó thứ tự gồm k phần tử ( ó thể trùng nhau) A k n = nk (0 6 k 6 n) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 19 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất . Phương pháp dùng ông thứ ủa giải tí h tổ hợp Dùng khi số kết  ủa php thử là rất lớn + Số hỉnh hợp hập k từ n phần tử (kí hiệu: A k n ): là số á h lấy từ một bộ ó n phần tử lấy ra một bộ ó thứ tự gồm k phần tử khá nhau A k n = n! (n− k)! (0 6 k 6 n) + Số hỉnh hợp lặp k từ n phần tử (kí hiệu: A k n ): là số á h lấy từ một bộ ó n phần tử lấy ra một bộ ó thứ tự gồm k phần tử ( ó thể trùng nhau) A k n = nk (0 6 k 6 n) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 19 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất + Số tổ hợp hập k từ n phần tử (kí hiệu: C k n ): là số á h lấy từ một bộ gồm n phần tử lấy ra một bộ không ó thứ tự gồm k phần tử khá nhau C k n = n! k!(n− k)! = A k n k! (0 6 k 6 n) +Số hoán vị ủa n phần tử (kí hiệu: P n ): với một bộ n phần tử thì ó P n á h sắp xếp ó thứ tự, mỗi á h là một hoán vị P n = n! Chú ý: quy ướ 0!=1. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 20 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất + Số tổ hợp hập k từ n phần tử (kí hiệu: C k n ): là số á h lấy từ một bộ gồm n phần tử lấy ra một bộ không ó thứ tự gồm k phần tử khá nhau C k n = n! k!(n− k)! = A k n k! (0 6 k 6 n) +Số hoán vị ủa n phần tử (kí hiệu: P n ): với một bộ n phần tử thì ó P n á h sắp xếp ó thứ tự, mỗi á h là một hoán vị P n = n! Chú ý: quy ướ 0!=1. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 20 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất Thí d 1.9. Trong một hòm ó 3 hi tiết đạt tiêu huẩn và 7 hi tiết là phế phẩm. Lấy đồng thời 3 hi tiết bất kì. Tìm xá suất: a. Cả 3 hi tiết lấy ra thuộ loại đạt tiêu huẩn. b. Trong số 3 hi tiết lấy ra ó 2 hi tiết đạt tiêu huẩn. Thí d 1.10. Hộp ó 2 quả bóng xanh, 3 quả đỏ, 5 quả vàng. Lấy đồng thời 4 quả bóng. Tìm xá suất lấy đượ a. 4 quả bóng ùng màu. b. 4 quả bóng ó đủ 3 màu. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 21 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất Thí d 1.9. Trong một hòm ó 3 hi tiết đạt tiêu huẩn và 7 hi tiết là phế phẩm. Lấy đồng thời 3 hi tiết bất kì. Tìm xá suất: a. Cả 3 hi tiết lấy ra thuộ loại đạt tiêu huẩn. b. Trong số 3 hi tiết lấy ra ó 2 hi tiết đạt tiêu huẩn. Thí d 1.10. Hộp ó 2 quả bóng xanh, 3 quả đỏ, 5 quả vàng. Lấy đồng thời 4 quả bóng. Tìm xá suất lấy đượ a. 4 quả bóng ùng màu. b. 4 quả bóng ó đủ 3 màu. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 21 / 293 4. Định nghĩa ổ điển về xá suất 4.5. u điểm và hạn hế ủa định nghĩa ổ điển về xá suất u điểm: không ần phải tiến hành php thử. Hạn hế: + Đòi hỏi số kết  là hữu hạn. + Thự tế nhiều khi không thể biểu diễn kết quả ủa php thử dưới dạng tập hợp á kết  duy nhất và đồng khả năng. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 22 / 293 5. Định nghĩa thống kê về xá suất 5.1. Định nghĩa tần suất Tần suất xuất hiện biến ố trong n php thử là tỷ số giữa số php thử trong đó biến ố xuất hiện và tổng số php thử đượ thự hiện. f(A) = k n Trong đó f(A) là tần suất xuất hiện biến ố A, n là số php thử và k là số lần xuất hiện biến ố A Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 23 / 293 5. Định nghĩa thống kê về xs Thí d 1.11. Để nghiên ứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, người ta tiến hành tung một đồng xu nhiều lần và thu đượ kết quả sau đây. Người thự hiện (n) (k) (sấp) Tần suất f Buffon 4040 2048 0,5069 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 ⇒ Khi số php thử tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động ngày àng ít xung quanh giá trị không đổi là 0,5. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 24 / 293 5. Định nghĩa thống kê về xs Thí d 1.11. Để nghiên ứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, người ta tiến hành tung một đồng xu nhiều lần và thu đượ kết quả sau đây. Người thự hiện (n) (k) (sấp) Tần suất f Buffon 4040 2048 0,5069 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 ⇒ Khi số php thử tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động ngày àng ít xung quanh giá trị không đổi là 0,5. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 24 / 293 5. Định nghĩa thống kê về xs 5.2. Định nghĩa thống kê về xá suất Xá suất xuất hiện hiến ố trong một php thử là một số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến ố đó trong n php thử sẽ dao động rất ít xung quanh nó khi số php thử tăng lên vô hạn. Nghĩa là P(A) ≈ f(A) 5.3. u điểm và hạn hế ủa định nghĩa thống kê về xá suất u điểm: không đòi hỏi điều kiện áp dng như đối với định nghĩa ổ điển. Hạn hế: á hiện tượng ngẫu nhiên phải ó tần suất ổn định; phải thự hiện số php thử đủ lớn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 25 / 293 5. Định nghĩa thống kê về xs 5.2. Định nghĩa thống kê về xá suất Xá suất xuất hiện hiến ố trong một php thử là một số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến ố đó trong n php thử sẽ dao động rất ít xung quanh nó khi số php thử tăng lên vô hạn. Nghĩa là P(A) ≈ f(A) 5.3. u điểm và hạn hế ủa định nghĩa thống kê về xá suất u điểm: không đòi hỏi điều kiện áp dng như đối với định nghĩa ổ điển. Hạn hế: á hiện tượng ngẫu nhiên phải ó tần suất ổn định; phải thự hiện số php thử đủ lớn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 25 / 293 6. Một số định nghĩa khá 6.1. Định nghĩa hình họ về xá suất 6.2. Xá suất hủ quan 6.3. Định nghĩa tiên đề về xá suất Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 26 / 293 6. Một số định nghĩa khá 6.1. Định nghĩa hình họ về xá suất 6.2. Xá suất hủ quan 6.3. Định nghĩa tiên đề về xá suất Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 26 / 293 6. Một số định nghĩa khá 6.1. Định nghĩa hình họ về xá suất 6.2. Xá suất hủ quan 6.3. Định nghĩa tiên đề về xá suất Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 26 / 293 7. Nguyên lý xá suất 7.1. Nguyên lý xá suất nhỏ Nếu một biến ố ó xá suất rất nhỏ thì thự tế ó thể ho rằng trong một php thử biến ố đó sẽ không xảy ra. Chú ý. Mứ xá suất đượ oi là rất nhỏ tùy thuộ vào từng bài toán và gọi là mứ ý nghĩa. Nguyên lý XS nhỏ là ơ sở ủa pp Kiểm định. 7.2. Nguyên lý xá suất lớn Nếu biến ố ngẫu nhiên ó xá suất gần bằng 1 thì thự tế ó thể ho rằng biến ố đó sẽ xảy ra trong một php thử. Nguyên lý xá suất lớn là ơ sở để xây dựng phương pháp ướ lượng khoảng tin ậy trong thống kê. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 27 / 293 7. Nguyên lý xá suất 7.1. Nguyên lý xá suất nhỏ Nếu một biến ố ó xá suất rất nhỏ thì thự tế ó thể ho rằng trong một php thử biến ố đó sẽ không xảy ra. Chú ý. Mứ xá suất đượ oi là rất nhỏ tùy thuộ vào từng bài toán và gọi là mứ ý nghĩa. Nguyên lý XS nhỏ là ơ sở ủa pp Kiểm định. 7.2. Nguyên lý xá suất lớn Nếu biến ố ngẫu nhiên ó xá suất gần bằng 1 thì thự tế ó thể ho rằng biến ố đó sẽ xảy ra trong một php thử. Nguyên lý xá suất lớn là ơ sở để xây dựng phương pháp ướ lượng khoảng tin ậy trong thống kê. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 27 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố Định nghĩa 1. Biến ố A gọi là thuận lợi ho biến ố B, kí hiệu A ∈ B, nếu A xảy ra thì B ũng xảy ra Thí d 1.12. Xạ thủ bắn 2 viên đạn. A = 'Xạ thủ bắn trúng bia đúng 1 viên' B = 'Bia bị trúng đạn' → A ∈ B Định nghĩa 2. Biến ố A gọi là bằng biến ố B, kí hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B ũng xảy ta và ngượ lại Thí d 1.13. Xạ thủ bắn 2 viên đạn. B = 'Bia bị trúng đạn' C = 'Xạ thủ bắn trúng 1 hoặ 2 viên' → B = C Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 28 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố Định nghĩa 1. Biến ố A gọi là thuận lợi ho biến ố B, kí hiệu A ∈ B, nếu A xảy ra thì B ũng xảy ra Thí d 1.12. Xạ thủ bắn 2 viên đạn. A = 'Xạ thủ bắn trúng bia đúng 1 viên' B = 'Bia bị trúng đạn' → A ∈ B Định nghĩa 2. Biến ố A gọi là bằng biến ố B, kí hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B ũng xảy ta và ngượ lại Thí d 1.13. Xạ thủ bắn 2 viên đạn. B = 'Bia bị trúng đạn' C = 'Xạ thủ bắn trúng 1 hoặ 2 viên' → B = C Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 28 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố 8.1. Tổng ủa á biến ố Định nghĩa 3. Biến ố C đượ gọi là tổng ủa hai biến ố A và B, kí hiệu C = A+ B, nếu C hỉ xảy ra khi và hỉ khi ó ít nhất một trong hai biến ố A và B xảy ra. Thí d 1.14. Một họ sinh phải thi họ kì 2 môn Toán và Văn. A = "họ sinh phải thi lại môn Toán", B = "họ sinh phải thi lại môn Văn", C = "họ sinh ( ó) phải thi lại". → C = A+ B. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 29 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố 8.1. Tổng ủa á biến ố Định nghĩa 3. Biến ố C đượ gọi là tổng ủa hai biến ố A và B, kí hiệu C = A+ B, nếu C hỉ xảy ra khi và hỉ khi ó ít nhất một trong hai biến ố A và B xảy ra. Thí d 1.14. Một họ sinh phải thi họ kì 2 môn Toán và Văn. A = "họ sinh phải thi lại môn Toán", B = "họ sinh phải thi lại môn Văn", C = "họ sinh ( ó) phải thi lại". → C = A+ B. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 29 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố Định nghĩa 4. Biến ố A đượ gọi là tổng ủa n biến ố A 1 ,A 2 , ...,A n , kí hiệu A = n∑ i=1 A i , nếu A xảy ra khi ó ít nhất một trong n biến ố ấy xảy ra. Thí d 1.15. Một người bắn 5 viên đạn vào bia. Gọi A i = "lần bắn thứ i người đó bắn trúng bia", (i = 1, 2, ..., 5) A = "người đó ó bắn trúng bia". → A = A 1 + A 2 + ...+ A 5 . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 30 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố Định nghĩa 4. Biến ố A đượ gọi là tổng ủa n biến ố A 1 ,A 2 , ...,A n , kí hiệu A = n∑ i=1 A i , nếu A xảy ra khi ó ít nhất một trong n biến ố ấy xảy ra. Thí d 1.15. Một người bắn 5 viên đạn vào bia. Gọi A i = "lần bắn thứ i người đó bắn trúng bia", (i = 1, 2, ..., 5) A = "người đó ó bắn trúng bia". → A = A 1 + A 2 + ...+ A 5 . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 30 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố 8.2. Tí h ủa á biến ố Định nghĩa 5. Biến ố C đượ gọi là tí h ủa hai biến ố A và B , kí hiệu C = A.B, nếu C xảy ra khi và hỉ khi ả hai biến ố A và B ùng xảy ra. Thí d 1.16. Một họ sinh phải thi họ kì 2 môn Toán và Văn. A = "họ sinh phải thi lại môn Toán", B = "họ sinh phải thi lại môn Văn", D = "họ sinh phải thi lại ả hai môn". → D = AB. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 31 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố 8.2. Tí h ủa á biến ố Định nghĩa 5. Biến ố C đượ gọi là tí h ủa hai biến ố A và B , kí hiệu C = A.B, nếu C xảy ra khi và hỉ khi ả hai biến ố A và B ùng xảy ra. Thí d 1.16. Một họ sinh phải thi họ kì 2 môn Toán và Văn. A = "họ sinh phải thi lại môn Toán", B = "họ sinh phải thi lại môn Văn", D = "họ sinh phải thi lại ả hai môn". → D = AB. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 31 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố Định nghĩa 6. Biến ố A đượ gọi là tí h ủa n biến ố A 1 ,A 2 , ...,A n , kí hiệu A = n∏ i=1 A i , nếu A xảy ra khi và hỉ khi ả n biến ố nói trên ùng đồng thời xảy ra. Thí d 1.17. Tung một on xú xắ 3 lần. Gọi A i (i = 1, 2, 3) = "lần thứ i đượ mặt 6 hấm" A = "tổng số hấm thu đượ là 18". → A = A 1 .A 2 .A 3 . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 32 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố Định nghĩa 6. Biến ố A đượ gọi là tí h ủa n biến ố A 1 ,A 2 , ...,A n , kí hiệu A = n∏ i=1 A i , nếu A xảy ra khi và hỉ khi ả n biến ố nói trên ùng đồng thời xảy ra. Thí d 1.17. Tung một on xú xắ 3 lần. Gọi A i (i = 1, 2, 3) = "lần thứ i đượ mặt 6 hấm" A = "tổng số hấm thu đượ là 18". → A = A 1 .A 2 .A 3 . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 32 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố 8.3. Tính xung khắ ủa á biến ố Định nghĩa 7. Hai biến ố A và B gọi là xung khắ với nhau nếu húng không thể đồng thời xảy ra trong kết quả ủa một php thử. Trường hợp ngượ lại gọi là không xung khắ . Thí d 1.18. Bắn 2 viên đạn A = "trúng đúng 1 viên"; B = "trúng ả 2 viên" → A và B xung khắ . Thí d 1.19. Bắn 2 viên đạn A i = "trúng đúng i viên" (i = 0, 1, 2) → A 1 và A 2 không xung khắ . ? Nếu A ∈ B thì A và B ó xung khắ không?Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 33 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố 8.3. Tính xung khắ ủa á biến ố Định nghĩa 7. Hai biến ố A và B gọi là xung khắ với nhau nếu húng không thể đồng thời xảy ra trong kết quả ủa một php thử. Trường hợp ngượ lại gọi là không xung khắ . Thí d 1.18. Bắn 2 viên đạn A = "trúng đúng 1 viên"; B = "trúng ả 2 viên" → A và B xung khắ . Thí d 1.19. Bắn 2 viên đạn A i = "trúng đúng i viên" (i = 0, 1, 2) → A 1 và A 2 không xung khắ . ? Nếu A ∈ B thì A và B ó xung khắ không?Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 33 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố 8.3. Tính xung khắ ủa á biến ố Định nghĩa 7. Hai biến ố A và B gọi là xung khắ với nhau nếu húng không thể đồng thời xảy ra trong kết quả ủa một php thử. Trường hợp ngượ lại gọi là không xung khắ . Thí d 1.18. Bắn 2 viên đạn A = "trúng đúng 1 viên"; B = "trúng ả 2 viên" → A và B xung khắ . Thí d 1.19. Bắn 2 viên đạn A i = "trúng đúng i viên" (i = 0, 1, 2) → A 1 và A 2 không xung khắ . ? Nếu A ∈ B thì A và B ó xung khắ không?Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 33 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố 8.3. Tính xung khắ ủa á biến ố Định nghĩa 7. Hai biến ố A và B gọi là xung khắ với nhau nếu húng không thể đồng thời xảy ra trong kết quả ủa một php thử. Trường hợp ngượ lại gọi là không xung khắ . Thí d 1.18. Bắn 2 viên đạn A = "trúng đúng 1 viên"; B = "trúng ả 2 viên" → A và B xung khắ . Thí d 1.19. Bắn 2 viên đạn A i = "trúng đúng i viên" (i = 0, 1, 2) → A 1 và A 2 không xung khắ . ? Nếu A ∈ B thì A và B ó xung khắ không?Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 33 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố Định nghĩa 8. Nhóm n biến ố A 1 ,A 2 , ...,A n đượ gọi là xung khắ từng đôi nếu bất kì hai biến ố nào trong nhóm này ũng xung khắ với nhau. Thí d 1.20. Hộp ó 7 hính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy 3 sản phẩm. Gọi A i (i = 0, 1, 2, 3) = "lấy đượ i hính phẩm". → A 0 ,A 1 ,A 2 ,A 3 là á biến ố xung khắ từng đôi. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 34 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố Định nghĩa 8. Nhóm n biến ố A 1 ,A 2 , ...,A n đượ gọi là xung khắ từng đôi nếu bất kì hai biến ố nào trong nhóm này ũng xung khắ với nhau. Thí d 1.20. Hộp ó 7 hính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy 3 sản phẩm. Gọi A i (i = 0, 1, 2, 3) = "lấy đượ i hính phẩm". → A 0 ,A 1 ,A 2 ,A 3 là á biến ố xung khắ từng đôi. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 34 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố 8.4. Nhóm đầy đủ á biến ố Định nghĩa 9. Cá biến ố A 1 ,A 2 , ...,A n đượ gọi là một nhóm đầy đủ á biến ố nếu trong kết quả ủa một php thử sẽ xảy ra một và hỉ một trong á biến ố đó. Nghĩa là A 1 ,A 2 , ...,A n là một nhóm đầy đủ á biến ố ⇔ { A 1 ,A 2 , ...,A n xung khắ từng đôi , A 1 + A 2 + ...+ A n = U. Thí d 1.21. Gọi A i (i = 1, 2, ..., 6) = "đượ mặt ó i hấm" khi tung một on xú xắ . → A 1 ,A 2 , ...,A 6 là nhóm đầy đủ á biến ố. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 35 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố 8.4. Nhóm đầy đủ á biến ố Định nghĩa 9. Cá biến ố A 1 ,A 2 , ...,A n đượ gọi là một nhóm đầy đủ á biến ố nếu trong kết quả ủa một php thử sẽ xảy ra một và hỉ một trong á biến ố đó. Nghĩa là A 1 ,A 2 , ...,A n là một nhóm đầy đủ á biến ố ⇔ { A 1 ,A 2 , ...,A n xung khắ từng đôi , A 1 + A 2 + ...+ A n = U. Thí d 1.21. Gọi A i (i = 1, 2, ..., 6) = "đượ mặt ó i hấm" khi tung một on xú xắ . → A 1 ,A 2 , ...,A 6 là nhóm đầy đủ á biến ố. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 35 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố Định nghĩa 10. Hai biến ố A và A gọi là đối lập với nhau nếu húng tạo nên một nhóm đầy đủ á biến ố. Nghĩa là A và A đối lập nhau ⇔ { A và A xung khắ , A+ A = U. Thí d 1.22. Tung một đồng xu xuống đất. Gọi A là biến ố đượ mặt sấp, A là biến ố đượ mặt ngửa. → A và A là hai biến ố đối lập với nhau. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 36 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố Định nghĩa 10. Hai biến ố A và A gọi là đối lập với nhau nếu húng tạo nên một nhóm đầy đủ á biến ố. Nghĩa là A và A đối lập nhau ⇔ { A và A xung khắ , A+ A = U. Thí d 1.22. Tung một đồng xu xuống đất. Gọi A là biến ố đượ mặt sấp, A là biến ố đượ mặt ngửa. → A và A là hai biến ố đối lập với nhau. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 36 / 293 8. Quan hệ giữa á biến ố 8.5. Cá biến ố độ lập Định nghĩa 11. Hai biến ố A và B gọi là độ lập với nhau nếu việ xảy ra hay không xảy ra ủa biến ố này không là thay