Bài giảng Đồ họa kỹ thuật - Phần I: Hình họa - Trường Đại học Bách khoa

thể 3 chiều. Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng 3 chiều lên mặt phẳng 2 chiều? Hình họa Gaspard Monge CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.1- Đối tượng môn học - Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt phẳng - Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.2- Các phép chiếu 1- Phép chiếu xuyên tâm a) Xây dựng phép chiếu - Cho mặt phẳng Π, một điểm S không thuộc Π và một điểm A bất kỳ. - Gọi A’ là giao của đường thẳng SA với mặt phẳng Π. *Ta có các định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu + Điểm S gọi là tâm chiếu + Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π + Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm A A A’ Hình 0.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm S П CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt - Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó là một đoạn thẳng A’B’. - Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình 0.2.a) - Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường đồng quy. (Hình 0.2.b) A A’ Hình 0.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm S B’ B C D C’=D’ b) Tính chất phép chiếu S C’ A’ B’ D’ F’ E’ T’ a) b) A B E F D C П П CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2- Phép chiếu song song a) Xây dựng phép chiếu - Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s không song song mặt phẳng Π và một điểm A bất kỳ trong không gian. - Qua A kẻ đường thẳng a//s . A’ là giao của đường thẳng a với mặt phẳng Π. * Ta có các định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu + Đường thẳng s gọi là phương chiếu + Điểm A’ gọi là hình chiếu song song của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π theo phương chiếu s + Đường thẳng a gọi là tia chiếu của điểm A A A’ Hình 0.3 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm s П a CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt A A’ Hình 0.4a,b Tính chất phép chiếu song song s B’ B C D C’=D’ b) Tính chất phép chiếu - Nếu đường thẳng AB không song song với phương chiếu s thì hình chiếu song song của nó là đường thẳng A’B’ - Nếu CD song song với phương chiếu s thì hình chiếu song song của nó là một điểm C’=D’ - Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc A’B’ + Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi: - Nếu MN//QP thì: - Nếu IK// Π thì: a) b) П M M’ M s N’ N Q P’ Q’ П M’ P K’ I’ I K       PQ MN Q'P' N'M' Q'//P'N'M'     IKK'I' //IKK'I' MB AM B'M' M'A'  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3- Phép chiếu vuông góc - Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. - Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra có thêm các tính chất sau: + Chỉ có một phương chiếu s duy nhất + Giả sử AB tạo với П một góc φ thì: A’B’=AB.cosφ A’B’ ≤ AB - Sau đây là những ứng dụng của phép chiếu vuông góc mà ta gọi là phương pháp hình chiếu thẳng góc A A’ Hình 0.5a,b. Phép chiếu vuông góc s П a A A’ s П B B’ φ a) b) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 2 Biểu diễn, liên thuộc CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1 – Điểm 2.1.1 Đồ thức của một điểm a) Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu - Trong không gian lấy hai mặt phẳng vuông góc nhau П1 và П2. - Mặt phẳng П1 có vị trí thẳng đứng. - Mặt phẳng П2 có vị trí nằm ngang. - Gọi x là giao điểm của П1 và П2 (x = П1∩П2 ) - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П1và П2 ta nhận được các hình chiếu A1 và A2 - Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П2 trùng vớiП1. Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b) Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu a) b) A A1 A2 Ax x A A1 Π1 x Ax Π1 Π2 A2 Π2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt * Các định nghĩa và tính chất - Mặt phẳng П1: mặt phẳng hình chiếu đứng - Mặt phẳng П2: mặt phẳng hình chiếu bằng - Đường thẳng x : trục hình chiếu - A1: hình chiếu đứng của điểm A - A2: hình chiếu bằng của điểm A - Gọi Ax là giao của trục x và mặt phẳng (AA1A2) - Trên đồ thức, A1,Ax, A2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng. Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu a) b) A A1 A2 Ax x A A1 Π1 x Ax Π1 Π2 A2 Π2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt * Độ cao của một điểm - Ta có: gọi là độ cao của điểm A - Quy ước: + Độ cao dương : khi điểm A nằm phía trên П2 + Độ cao âm: khi điểm A nằm phía dưới П2. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ cao dương: A1 nằm phía trên trục x + Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu a) b) A A1 A2 Ax x A A1 Π1 x Ax Π1 Π2 A2 Π2 AAAA 21x  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt * Độ xa của một điểm - Ta có: gọi là độ xa của điểm A - Quy ước: + Độ xa dương : khi điểm A nằm phía trước П1 + Độ xa âm: khi điểm A nằm phía sau П1. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ xa dương: A2 nằm phía dưới trục x + Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x *Chú ý: Với một điểm A trong không gian có đồ thức là một cặp hình chiếu A1, A2. Ngược lại cho đồ thức A1 A2 , ta có thể xây dựng lại điểm A duy nhất trong không gian. Như vậy đồ thức của một điểm A có tính phản chuyển Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu x Ax A2 Π2 AAAA 12x  a) A A1 A2 Ax x Π1 Π2 b) A1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b) Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu - Trong không gian, lấy ba mặt phẳng П1’ П2,П3 vuông góc với nhau từng đôi một. + Gọi x là giao điểm của П1 và П2 (y = П1∩П2) + Gọi y là giao điểm của П2 và П3 (y = П2∩П3) + Gọi z là giao điểm của П1 và П3 (z = П1∩П3) - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П1, П2 và П3 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2 và A3 - Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng П2 quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П3 quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.2.a cho đến khi П2 trùng với П1,П3 trùng với П1. Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b) Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu b) A A1 x Ax A2 a) A2 Π2 x A A1 Ax A3 A2 Ay Az Π1 Π3 z y Π1 Π3 Π2 A3 z y y O Az Ay Ay O CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b) Các định nghĩa và tính chất Bổ xung thêm các định nghĩa và tính chất sau: - Mặt phẳng П3: mặt phẳng hình chiếu cạnh - Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu - A3: hình chiếu cạnh của điểm A - Gọi - Trên đồ thức: + A1, Ax, A2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng + A1, Az, A3 cùng nằm trên một đường thẳng song song với trục x gọi là đường dóng nằm ngang. Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu b) A A1 x Ax A2 a) A2 Π2 x A A1 Ax A3 A2 Ay Az Π1 Π3 z y Π1 Π3 Π2 A3 z y y O Az Ay Ay O )AA(AzAz )AA(AyAy )AA(AxAx 31 32 21    CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo) * Độ xa cạnh của một điểm - Ta có: gọi là độ xa cạnh của điểm A - Quy ước: + Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm phía bên trái П3 + Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm phía bên phải П3. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên phải trục x + Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái trục x Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu b) A A1 x Ax A2 a) A2 Π2 x A A1 Ax A3 Ay Az Π1 Π3 z y Π1 Π3 Π2 A3 z y y O Az Ay Ay O AAOAAAAA 3x2y1z  A2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.2 Một số định nghĩa khác 2.1.2.1– Góc phần tư - Hai mặt phẳng hình chiếu П1, П2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư. + Phần không gian phía trước П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ nhất. (I) + Phần không gian phía sau П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ hai. (II) + Phần không gian phía sau П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ ba. (III) + Phần không gian phía trước П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ tư. (IV) Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV Hình 1.4. Góc phần tư I, II, III, IV A2 Π1 Π2 ( I ) ( IV ) ( III ) ( II ) x A2 A1 Π2 Π1 Hình 1.5. Các điểm A,B,C,D thuộc các góc phần tư I, II, III, IV B2 B1 C1 C2 D2 D1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.2.2 – Mặt phẳng phân giác - Có hai mặt phẳng phân giác + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I. (Pg1) + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2) Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV) Hình 1.6. Mặt phẳng phân giác I và II A2 Π1 Π2 ( I ) ( IV ) ( III ) ( II ) x A2 A1 Π2 Π1 Hình 1.7. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳng phân giác (P1) và (P2) (Pg1) (Pg2) B1 B2 C1 =D2 D1 =C2 x Ax Bx Cx Dx CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.3- Ví dụ: Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức. Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức x(+) Ax A2 A3 z(+) y(+) O Az Ay Ay A1 Δ Δ’ y(+) x(+) Bx B2 B3 z(+) y(+) O Bz By By B1 Δ Δ’ x(+) Cx C1 C3 z(+) y(+) O Cz Cy Cy C2 Δ Δ’ x(+) Dx D2 D3 z(+) y(+) O Dz Dy Dy D1 Δ Δ’ y(+) x(+) Ex =E2 E3 z(+) y(+) O Ez =Ey E1 Δ Δ’ a) d) c) e) b) y(+) y(+) y(+) By Ey CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.2 - Đường thẳng 2.2.1 Biểu diễn đường thẳng Vì một đường thẳng đươc xác định bởi hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó. Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l; - l1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng của đường thẳng l - l2 đi qua A2B2 gọi là hình chiếu bằng của đường thẳng l Hình 2.1. Đồ thức của một đường thẳng A1 B1 l1 l2 B2 A2 )B,B(B )A,A(A B AAB 21 21  ,l B A1 B2 Π1 Π2 A x A2 B1 l1 l2 l Chú ý: Nếu từ hình chiếu l1 và l2 của đường thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất trong không gian thì đồ thức đường thẳng có tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng 1- Đường thẳng không song song với Π3 Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không không song song với Π3 là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng. Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng A1 l1 l2 A2 A1 Π1 Π2 A x A2 l1 l2 l x            22 11 3 A A )//( A l l l l CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PQIQPI PQIQPI 333 333   2- Đường thẳng song song với Π3 (đường cạnh) Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11) Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu: Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh y x Q2 P3 z y Q3 P1 O P2      222 111 QPI QPI I1 I3 I2 Q1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PQI QI PI QI PI PQI QI PI QI PI 22 22 11 11 22 22 11 11   Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng. Nếu: Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh - Qua P1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90 o ). - Trên t lấy: - Vẽ 22 221 QPQI IPIP   I Q x Q2 P1 P2 I1 I2 I’1 Q1 t α 11 Q Q//I' I PQI- Nếu thì tỉ số đơn khác nhau 11 I'I  PQI - Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau 11 I'I  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.2.3- Vết của đường thẳng Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu (Hình 2.12) - Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П1 M1l1 , M2x - Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П2 N1x , N2l2 Hình 2.12. Vết của đường thẳng N1 M2 Π1 Π2 x N2 M1 l1 l2 l N1 l1 l2 x M1 N2 M2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l1,l2) được cho như trên đồ thức và xét xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian.(Hình 2.13) Hình 2.13. Ví dụ vết của đường thẳng Giải: * Tìm vết M, N của đường thẳng l: M2x M2≡ l2∩x M1l1 N1x N1≡ l1∩x N2l2 * Xét l đi qua góc phần tư nào? - Xét AMN: A có độ cao dương, độ xa âm  A thuộc góc phần tư thứ II l đi qua góc phần tư thứ II. - Xét BMN: B có độ cao âm, độ xa âm;  B thuộc góc phần tư thứ III l đi qua góc phần tư thứ III - Xét CMN : C có độ cao dương, độ xa dương;  C thuộc góc phần tư thứ I l đi qua góc phần tư thứ I. Vậy, đường thẳng l đi qua các góc I, II, III  N1 l1 l2 x M1 N2 M2 B1 B2 Góc(I) Góc (II) Góc (III) A2 A1 C2 C1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.3- Mặt phẳng 2.3.1 Biểu diễn mặt phẳng Trên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng A1 l1 l2 A2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 Hình 3.1.Đồ thức của mặt phẳng I1 b1 b2 I2 a1 a2 d1 d2 c1 c2 a) d) c) b) Chú ý: Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành cách xác định khác. Do đó phương pháp giải bài toán không phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.3.1.1- Hai đường thẳng cắt nhau a) Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức: các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng nằm trên một đường dóng thẳng đứng. (Hình 2.14) Hình 2.14. Hai đường thẳng không phải là đường cạnh cắt nhau I1 a1 a2 I2 x b1 b2               xII Iba Iba )//b,a( Iba 21 222 111 3    CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b) Một trong hai đường thẳng là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường thẳng l thỏa mãn: l1∩P1Q1 ≡ I1 l2∩P2Q2 ≡ I2 Xét xem l và PQ có cắt nhau không? (Hình 2.15) Giải: Ta có: Il PQ∩l IPQ  Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường cạnh đã xét ở trên Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau (một trong hai đường thẳng là đường cạnh) I x Q2 P1 P2 I1 I2 I’1 Q1 t Q α l1 l2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt         22 11 3 b//a b//a )//b,a( b//a 2.3.1.2- Hai đường thẳng song song a) Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nào. b) Điều kiện song song của hai đường thẳng trên đồ thức * Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ thức các hình chiếu đứng của chúng song song và các hình chiếu bằng của chúng cũng song song. (Hình 2.16) Hình 2.16. Hai đường thẳng song song không phải là đường cạnh a1 a2 x b1 b2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.3.2- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc) 2.3.2.1- Bài toán cơ bản 1 Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó. Biết hình chiếu đứng l1, tìm hình chiếu bằng l2 (Hình 3.11) Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1 I1 b1 b2 I2 a1 12 l1 l2 11 21 a2 22 b1 b2 I2 a1 12 l’1 l’2 21 a2 22 a) l1 cắt cả hai đường a1 b1 - Dựa vào các điểm 1(11,12); 2(21,22) b1 b2 I2 a1 12 l1 l2 11 a2 I1 I1 11 K2 K1 b) l1 đi qua I1 - Dùng đường thẳng l’(l’1,l’2) Kl’→l qua IK c) l1 song song với một trong hai đường a1 b1 - VD: l1//b1 - Dựa vào điểm 1(11,12) l2 đi qua 12, l2//b2 l1 l2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 1: Mặt phẳng α( mα, nα) . Biết l1, tìm l2 (Hình 3.12) Giải: - Lấy M1≡ l1 ∩ mα → M2x - Lấy N1≡ l1 ∩ x → M2nα - l2 qua M2 và N2 là đường thẳng cần tìm Hình 3.12. Ví dụ về bài toán cơ bản 1 M2 l1 l2 M1 N1 N2 mα nα x Chú ý: - Sử dụng vết của đường thẳng và mặt phẳng - Ví dụ này dành cho các bài toán mặt phẳng (α) cho bởi vết CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.3.2.2- Bài toán cơ bản 2 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, điểm K thuộc mặt phẳng α đó. Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình chiếu bằng K2 . (Hình 3.13) Giải: - Gắn điểm K vào một đường thẳng l(α) - Khi đó l1 qua K1. Tìm l2 ? (bài toán cơ bản 1) - K2 l2 (Điểm thuộc đường thẳng) Hình 3.13. Bài toán cơ bản 2 b1 b2 I2 a1 12 l1 l2 21 a2 22 I1 11 K2 K1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(mα, nα). Điểm K thuộc (α). Biết K1, tìm K2 (Hình 3.14) Giải: - Gắn K vào đường thẳng a(α) → a1 qua K1. Tìm K2? - K2 a2 Hình 3.14. Ví dụ về bài toán cơ bản 2 αx a1 a2 M1 M2 N1 N2 x K1 K2 Chú ý: Trong hai bài toán cơ bản trên, nếu cho hình chiếu bằng của đường thẳng và của điểm, tìm hình chiếu đứng của chúng, ta cũng làm tương tự mα nα CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.3.3- Vết của mặt phẳng Vết của mặt phẳng là giao tuyến của của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu Cho mặt phẳng (α): * Vết đứng m: m ≡ (α) ∩ П1 * Vết bằng n: n ≡ (α) ∩ П2 * Vết cạnh p: p ≡ (α) ∩ П3 Để phân biệt các mặt phẳng ta viết tên vết của mặt phẳng kèm theo tên của mặt phẳng đó. Ví dụ: Mặt phẳng (α) → -Vết đứng : mα -Vết bằng : nα -Vết cạch : pα x Π1 Π3 y Π2 p m n z x z y O m2=n1=p2 p1 Hình 3.2. Vết của mặt phẳng O y α CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt - Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó. Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại αx x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c) - Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m1, m2 và n1,n2 (Hình 3.3a) - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó ký hiệu mα, nα (Hình 3.3b,c) x m1 n2 x mα nα αx x mα nα a) c) b) Hình 3.3. Một số cách cho mặt phẳng bằng vết trên đồ thức αx m2=n1=x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt  Ví dụ: Xác định vết của mặt phẳng α (a,b) được cho trên đồ thức, a cắt b tại I. (Hình 3.4) Hình 3.4. Ví dụ tìm vết của một mặt phẳng αx mα a2 b1 a1 b2 M’1 M1 M’2 M2 I1 I2 N1 N2 N’1 N’2 x Giải: - Nhận xét mặt phẳng (α) đi qua a và b do đó vết của mặt phẳng (α) đi qua vết của các đường thẳng a và b. + Tìm vết đứng M(M1,M2) của đường thẳng a + Tìm vết đứng M’(M’1,M’2) của đường thẳng b mα đi qua M1, M’1 + mα ∩ x ≡ αx + Tìm vết bằng N(N1,N2) của a + Vết bằng nα đi qua αx và N2  nα Chú ý: Không cần tìm vết bằng N’(N’1 ,N’2 ) của đường thẳng b vì αx , N2 , N’2 thẳng hàng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.4- Mặt (Mặt cong, đa diện) 2.4.1 Biểu diễn đa diện mặt cong Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó. Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy. (Hình 5.1.a) - Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b) Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh và mặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện. B1 A1 C1 S1 A2 B2 C2 S2 B1 A1 C1 l1 A2 B2 C2 l2 Hình 5.1. Biểu diễn đa diện a) b) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó. Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón) - Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh. Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó. O1 S1 S2 O1 l1 l2 O2 O2 Hình 6.1 Biểu diễn mặt cong CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.4.2 Điểm thuộc mặt Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của hình chóp S.ABC. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.2) Giải: * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi qua đỉnh S, đó là SE và SE’. * Tìm N1: Gắn điểm N vào đường thẳng SA * Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng song song với cạnh đáy của hình chóp. Ví dụ PJ: có P2 và P’2 * Tìm Q1, ngược lại: Có thể gắn Q vào đường thẳng qua đỉnh S. Ví dụ SI hoặc gắn vào đường thẳng song song cạnh đáy hình chóp. Lưu ý có một điểm Q’1 thuộc đáy chóp. B1 A1 C1 A2 C2 S1 B2 E ≡E’1 N1 N2 J2 J1 Q2 P2 P1 M’2 M2 E’2 E2 Q1 Q’1 I2 I1 M1 P’2 S2 Hình 5.2. Ví dụ 1: Tìm M2, N2. P2, Q1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của lăng trụ. Biết M1, N1, P1, Q2, Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.3) Giải: * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng t song song với cạch bên của lăng trụ. * Tìm N2: Gắn điểm N vào đường thẳng a1 * Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng s (s//a,b). Pb  P1b1 * Tìm Q1, ngược lại: gắn Q vào đường thẳng k (k//a,b) B1 A1 C1 A2 B2 C2 N1 N2 P2 P1 P’2 M2 M’2 M1 G2 G1 H1 H2 Q2 Q1 Q’1 E1≡E’1 E’2 E2 B’2 Chú ý: Ta cũng có thể tìm hình chiếu các điểm bằng cách gắn các điểm vào đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụ Hình 5.3. Ví dụ 2: Tìm M2, N2. P2, Q1 a1 b1 k1 k’1 c1 t1 k2 t’2 t2 s’2 b2 c2 a2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Điểm thuộc mặt cong Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.2) Giải: - Tìm M2: Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M - Tìm N1: Gắn N vào đường sinh SJ - Tim P2: Vẽ đường tròn song song đáy chứa điểm P - Tìm Q1: Vẽ đường sinh SI chứa Q. Chú ý còn một điểm Q’1 ở đáy nón O1 J1 S1 O2 E1≡E’1 N1 N2 J2 K1 Q2 P2 P1 M’2 M2 E’2 E2 Q1 Q’1 I2 I1 M1 P’2 S2 ≡ Hình 6.2. Điểm thuộc mặt nón. Tìm M2 , N2, P2, Q1 K2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ. Biết M1, N1, P2, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3) . O1 J1 T1 J2 T’2 N1 P2 P1 M2 M’2 M1 G2 G1 H1 H2 Q2 Q1 E’2 E2 T2 Hình 6.3. Điểm thuộc mặt trụ. Tìm M2 , N2, P1, Q1 Giải: - Tìm M2: qua M1 vẽ đường sinh a1. Chân đường sinh: E1, E’1. Trên hình chiếu bằng có E2, E’2. Qua E2, E’2 vẽ các đường sinh a2, a’2. M2  a2, M’2  a’2 - Tìm N2: Gắn N vào đường sinh s. N1  s1, N2  s2 . - Tìm P1: Ngược lại cách tìm M2 - Tìm Q1: Qua O2 vẽ đường thẳng O2T2 O2T2  l2. Từ T1 vẽ đường sinh l1  Q1  l1 Chú ý: Nếu hình chiếu của đáy trụ là hình tròn, ta có thể gắn các điểm vào đường tròn song song đáy trụ N2 P’1 E1≡E’1 s1 s2 a1 a’2 a2 k’1 k1 k2 l1 l2 O2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu. Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.4) Giải: - Tìm M2: Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song song với П2 - Tìm N2 , P2: Xét đường tròn (u) và (v) của mặt cầu: N1  (u1)  N2  (u2) P1  (v1)  P2  (v2) * Nếu biếu M2, N2, P2, tìm M1, N1, P1 ta làm tương tự. O1 O2 N1 N2 E1 P2 P1 (u1) M’2 M2 E2 M1 P’2 (u2) (v1) (v2) Hình 6.4. Điểm thuộc mặt cầu. Tìm M2 , N2, P2 ? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.5- Biểu diễn các đối tượng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu) 2.5.1- Các đối tượng song song với mặt phẳng hình chiếu 2.5.1.1 Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu) a) Đường bằng * Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. B A1 Π1 A x B1 B2 x A1 B1 h1 h A2 h1 h2   * Tính chất : - Hình chiếu đứng h1//x - Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A2B2=AB - Góc h2,x = h, П1= α Hình 2.2. Đường bằng Π2 A2 h2  B2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b) Đường mặt * Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: CD// П1 * Tính chất : - Hình chiếu bằng f2//x - Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C1D1=CD - Góc f1,x = f, П2= β Hình 2.3. Đường mặt D C1 Π1 x D1 D2 x C1 D1 f1 f C2 f1 f2 β Π2 C2 f2 β D2 β C CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt c) Đường cạnh * Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. * Tính chất : - p1 và p2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x - Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E3F3=EF - Góc p3,z = p, П1= α - Góc p3,y = p, П2= β Hình 2.4. Đường cạnh A2 Π2 x E F2 F1 F3 E3 Π1 Π3 z y O F α β x F2 E3 z y F3 E1 y p1 p p2 E2 E1 Ax O F1 p1 p2 E2 α β p3 p3 α β CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hình 2.4. Đường cạnh A2 x F3 E3 Π1 Π3 z y O F α β x F2 E3 z y F3 E1 y Ax O F1 p1 p2 E21 α β p3 p3 Π2 E F2 F1 p1 p p2 E2 E1 Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p1, p2 ta không xác định được đường thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt. Ví dụ: Cho E, F thuộc đường thẳng p. Hai điểm E, F xác định một đường thẳng p duy nhất. (Hình 2.4) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt x//m 2.5.1.2- Các mặt phẳng đồng mức ( là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu) a) Mặt phẳng bằng * Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ: Mặt phẳng (α)//П2 *Tính chất : Π1 x B1 B2 x A1 A2 C2 Hình 3.8. Mặt phẳng bằng B A1 A B1  Π2 A2 C B2 C1 mα mα C1 C2 Chú ý: (α)//П2 do đó (α) П1 , cho nên (α) cũng là mặt phẳng chiếu đứng ABCCBA)(ABC 222   α1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ABCCBA)(ABC 111   b) Mặt phẳng mặt * Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: Mặt phẳng (β)//П1 *Tính chất : Hình 3.9. Mặt phẳng mặt Π1 x C1 C2 x A1 A2 C A1 C1 Π2 A2 β B2 A B B1 C2 B1 B2 nβ nβ Chú ý: (β)//П1 do đó (β) П2 , cho nên (β) cũng là mặt phẳng chiếu bằng  x//n β2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ABCCBA)(ABC 333   .xnxm ,   c) Mặt phẳng cạnh * Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. Ví dụ: Mặt phẳng (γ)// П3 *Tính chất : Hình 3.10. Mặt phẳng cạnh x Π1 Π3 y A3 B3 z O p3 Π2 B C2 A1 p B2 B1 A A2 C C1 C3 γ mγ nγ mγ nγ x A2 B3 y A3 B1 O A1 C2