Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Dạng toàn phương

Dạng toàn phương Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Lagrange Phương pháp Jacobi 4 Dạng toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester 2 Giá trị riêng - vectơ riêng Các định nghĩa Định nghĩa - Cho ma trận A ∈ Mn(R). Số thực λ được gọi là trị riêng của A nếu tồn tại vector 0 < x ∈ Rn nếu A[x] = λ[x]. - Vector x , 0 thỏa A[x] = λ[x] được gọi là vector riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ. Ví dụ 1:Với A = ( 4 −2 1 1 ) , x = (2; 1), ta được A[x] = ( 4 −2 1 1 ) ( 2 1 ) = ( 6 3 ) = 3 ( 2 1 ) = 3[x] Vậy x = (2; 1) là vector riêng của A ứng với trị riêng λ = 3. Tính chất Nếu A có vectơ riêng x ứng với trị riêng λ thì kx, k , 0 cũng là vectơ riêng ứng với trị riêng λ. Nếu A có trị riêng λ thì λm là trị riêng của Am. Nếu A có trị riêng λ và |A| , 0 thì λ−m là trị riêng của A−m. 3 Giá trị riêng - vectơ riêng Các định nghĩa Định nghĩa Cho ma trận vuông A = (aij) cấp n, ma trận đơn vị cấp n: I. - Ma trận đặc trưng của A là A − λI =  a11 − λ a12 . . . a1n a21 a22 − λ . . . a2n ... ... . . . ... an1 an2 . . . ann − λ  - Đa thức đặc trưng của A là định thức của ma trận đặc trưng (là một đa thức λ), det(A − λI). - Phương trình đặc trưng của ma trận A là det(A − λI) = 0. Ví dụ 2: Cho A = ( 1 2 3 4 ) , ta có đa thức đặc trưng det(A − λI) = ∣∣∣∣∣ 1 − λ 23 4 − λ ∣∣∣∣∣ = λ2 − 5λ − 2 4 Giá trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng - Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A − λI) = 0. Các nghiệm tìm được là các giá trị riêng cần tìm. - Bước 2: Giả sử λ0 là giá trị riêng. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (A − λ0I)X = 0. Nghiệm không tầm thường của phương trình này là vectơ riêng cần tìm. Ví dụ 3: Cho A = ( 4 −2 1 1 ) . Tìm giá trị riêng và vector riêng của A. Giải. Phương trình đặc trưng là det(A − λI) = 0⇔ ∣∣∣∣∣ 4 − λ −21 1 − λ ∣∣∣∣∣ = 0⇔ λ2 − 5λ+ 6 = 0 Suy ra λ1 = 2 và λ2 = 3 là hai trị riêng của A. + Ứng với λ1 = 2: + Ứng với λ2 = 3: 5 Giá trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng Ví dụ 4: Cho A =  0 0 10 1 01 0 0 . Tìm giá trị riêng và vector riêng của A. Giải. Phương trình đặc trưng:∣∣∣∣∣∣∣∣ −λ 0 1 0 1 − λ 0 1 0 −λ ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ (1 − λ)(λ2 − 1) = 0 ⇒ λ1 = −1, λ2 = 1 là hai trị riêng của A. + Với λ1 = −1, ta có: A − λ1I =  1 0 10 2 01 0 1  −→  1 0 10 1 00 0 0 ⇒ { x1+ x3 = 0 x2 = 0 ⇒ x = α(1; 0;−1) (α , 0) là vetor riêng của A. 6 Giá trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng + Với λ2 = 1, ta có: A − λ2I =  −1 0 10 0 01 0 −1  −→  −1 0 10 0 00 0 0 ⇒ x1 − x3 = 0 ⇒ x = (α; β;α) là vetor riêng của A. Không gian riêng Giả sử λ là giá trị riêng của ma trận A. Gọi tập hợp các vector riêng ứng với λ và vector không là E(λ). E(λ) được gọi là không gian riêng ứng với λ. Ví dụ 4: E(−1) = 〈(1; 0;−1)〉 ; dimE(−1) = 1 E(1) = 〈 (1; 0; 1), (0; 1; 0) 〉 ;dimE(1) = 2 7 Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Định nghĩa chéo hóa Định nghĩa - Hai ma trận vuông cùng cấp A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa B = P−1AP. - Ma trận vuông cấp n được gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận đường chéo D, tức là, tồn tại ma trận P khả nghịch sao cho P−1AP = D. Khi đó, ta nói ma trận P làm chéo hóa ma trận A. Ví dụ: Hai ma trận A = ( 1 0 6 −1 ) và B = ( −1 0 0 1 ) đồng dạng nhau vì có ma trận P = ( 0 1 1 3 ) khả nghịch thỏa B = P−1AP. Ví dụ: Ma trận A =  0 0 00 1 01 0 1  chéo hóa được, vì có ma trận P =  1 0 00 1 0−1 0 1  thỏa P−1AP =  0 0 00 1 00 0 1  8 Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông Các bước chéo hóa ma trận vuông - Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A − λI) = 0 để tìm trị riêng thực của A. + Trường hợp A có trị riêng phức thì ta kết luận A không chéo hóa được. + Trường hợp A có n trị riêng thực thì A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2. + Trường hợp A có k trị riêng thực λi(i = 1, . . . , k) với λi là nghiệm bội ni của phương trình đặc trưng. i) dimE(λi) = ni,∀i, ta kết luận A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2. ii) tồn tại dimE(λi) < ni, ta kết luận A không chéo hóa được. - Bước 2: Tìm cơ sở của các không gian riêng E(λi). - Bước 3: Lập ma trận P có các cột là các vector cơ sở của E(λi). Khi đó, P−1AP = D với D là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính lần lượt là λi (mỗi λi xuất hiện liên tiếp ni lần). 9 Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau trên R: A =  1 −1 02 −1 01 2 3  Giải. det(A − λI) = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 − λ −1 0 2 −1 − λ 0 1 2 3 − λ ∣∣∣∣∣∣∣∣ = (3 − λ)(1+ λ2) Phương trình det(A − λI) = 0 không đủ 3 nghiệm thực nên A không chéo hóa được trên R. Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau trên R: A = ( −3 2 −2 1 ) Giải. Phương trình đặc trưng det(A − λI) = 0⇔ (λ+ 3)(λ − 1) + 4 = 0⇔ (λ+ 1)2 = 0⇔ λ = −1 (bội 2) (A − λI)X = 0⇔ ( −2 2 −2 2 ) ( x1 x2 ) = ( 0 0 ) ⇔ { −2x1 + 2x2 = 0 −2x1 + 2x2 = 0 ⇔ x1 = x2 ⇒ dimE(−1) = 1 < 2⇒ A không chéo hóa được. 10 Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông Ví dụ: Chéo hóa ma trận A = ( 1 0 6 −1 ) . Giải. Phương trình đặc trưng det(A − λI) = ∣∣∣∣∣ 1 − λ 06 −1 − λ ∣∣∣∣∣ = 0⇔ [ λ = −1λ = 1 ⇒ A chéo hóa được. λ = −1 : (A − λI) = ( 2 0 6 0 ) → ( 1 0 0 0 ) ⇒ x = (0; 1) λ = 1 : (A − λI) = ( 0 0 6 −2 ) → ( −3 1 0 0 ) ⇒ x = (1; 3) suy ra P = ( 0 1 1 3 ) và D = ( −1 0 0 1 ) Vậy P−1AP = ( −1 0 0 1 ) 11 Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông Ví dụ: Chéo hóa ma trận A =  4 2 −1−6 −4 3−6 −6 5  Giải. Phương trình đặc trưng det(A − λI) = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 − λ 2 −1 −6 −4 − λ 3 −6 −6 5 − λ ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ (λ − 1)(λ − 2)2 = 0⇔ [ λ = 1 λ = 2 + Với λ = 1 (nghiệm đơn), ta có: A − λI =  3 2 −1−6 −5 3−6 −6 4 →  3 0 10 1 −10 0 0 ⇒ { 3x1 + x3 = 0 x2 − x3 = 0 ⇒ x = α(1;−3;−3)⇒ dimE(1) = 1 12 Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông + Với λ = 1 (nghiệm bội 2), ta có: A − λI =  2 2 −1−6 −6 3−6 −6 3 →  2 2 −10 0 00 0 0 ⇒ 2x1 + 2x2 − x3 = 0 ⇒ x = α(1; 0; 2) + β(0; 1; 2)⇒ dimE(2) = 2 Vậy A chéo hóa được và P−1AP =  1 0 00 2 00 0 2  với P =  1 1 0−3 0 1−3 2 2 . 13 Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng Định nghĩa Ma trận thực A vuống cấp n được gọi là trực giao nếu ATA = I, tức là A−1 = AT. Ví dụ:  − 1√ 2 1√ 2 1√ 2 1√ 2  là ma trận trực giao. Định lý Nếu A là ma trận đối xứng thì các vector riêng thuộc các không gian riêng khác nhau là trực giao. Định nghĩa Nếu tồn tại ma trận trực giao P sao cho P−1AP là ma trận chéo thì A là ma trận chéo hóa trực giao được và P là ma trận làm chéo hóa trực giao A. 14 Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng Các bước chéo hóa ma trận đối xứng - Bước 1:Tìm các trị riêng. - Bước 2: Tìm các vector cơ sở của các không gian riêng. - Bước 3: Chuẩn hóa các vector cơ sở này. - Bước 4: Lập ma trận chéo hóa trực giao của A. Ví dụ: Chéo hóa ma trận đối xứng A =  9 2 22 0 22 2 0 . 15 Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Dạng toàn phương Định nghĩa - Dạng toàn phương của n biến x1, x2, . . . , xn (hay là dạng toàn phương trong Kn) là hàm Q từ Kn đến K cho bởi biểu thức Q(x) = n∑ i=1 n∑ j=1 aijxixj với aij = aji - Nếu ta đặt A = ( aij ) n×n =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... . . . ... an1 an2 . . . ann  ∈ Mn(K) và X = (x1, x2, . . . , xn)thì dạng toàn phương được viết ở dạng ma trận Q(X) = [x]TA[x] A được gọi là ma trận của dạng toàn phương, A là một ma trận đối xứng. 16 Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Dạng toàn phương Ví dụ: Tìm dạng toàn phương q(x), biết ma trận của q là A = ( 1 −1 −1 2 ) . Giải. Ta có q(x) = [x]TA[x] = (x1 x2) ( 1 −1 −1 2 ) ( x1 x2 ) = x21 + 2x 2 2 − 2x1x2 Ví dụ: Tìm ma trận của dạng toàn phương q : R3 → R sau q(x) = 2x21 + 3x 2 2 − x23 − 4x1x2 + 6x2x3 Giải. A =  2 −2 0−2 3 30 3 −1  17 Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Dạng toàn phương Định nghĩa Trong Rn, dạng toàn phương Q(X) = a11x21 + a22x 2 2 + · · ·+ anx2n = n∑ i=1 aiix2i được gọi là dạng toàn phương chính tắc hay gọi tắt là dạng chính tắc. Ma trận của dạng chính tắc là A = diag ( a11 a22 . . . ann ) . Ví dụ: Trong R2, cho dạng chính tắc có ma trận A = ( 1 0 0 −2 ) . Khi đó, biểu thức của q là q(x) = [x]TA[x] = (x1 x2) ( 1 0 0 −2 ) ( x1 x2 ) = x21 − 2x22 18 Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Lagrange: - Phương pháp Lagrange nhóm trực tiếp lần lượt theo từng biến xi dưới dạng tổng bình phương. Sau đó, ta dựa vào các tổng bình phương để đổi biến. Trường hợp 1: (Q(x) có hệ số aii , 0) • Bước 1: Giả sử a11 , 0, ta tách tất cả các số hạng chứa x1 trong Q(x) và thêm hoặc bớt để có dạng Q(x) = a11(x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn)2 +Q1(x2; . . . ; xn) Đổi biến y1 = x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn , yi = xi (i = 2, . . . ,n) , tức là x1 = y1 − α12x2 − · · · − α1nxn , xi = yi (i = 2, . . . ,n) Khi đó, Q(x) trở thành Q(x) = a11(y1)2 +Q1(y2; . . . ; yn) • Bước 2: Tiếp tục làm như bước 1 cho Q1(y2; . . . ; yn). Sau vài bước thì dạng toàn phương Q(x) sẽ có dạng chính tắc. Trường hợp 2: (Q(x) có tất cả các hệ số aii = 0) Giả sử a12 , 0, ta thực hiện đổi biến: x1 = y1 + y2, x2 = y1 − y2, xi = yi (i = 2, . . . ,n) Khi đó, dạng toàn phương Q(x) = 2a12y21 − 2a12y22 + · · · có hệ số của y21 , 0. Ta thực hiện theo trường hợp 1. 19 Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Ví dụ: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc: Q(x) = −x22 + 4x23 + 2x1x2 + 4x1x3 Bước 1. Biến đổi Q(x) = −(x21 − 2x1x2 + x22) + x21 + 4x23 + 4x1x3 = −(x1 − x2)2 + x21 + 4x23 + 4x1x3 Đổi biến  y1 = x1 y2 = x1 −x2 y3 = x3 ⇔  x1 = y1 x2 = y1 −y2 x3 = y3 Khi đó, Q(x) = −y22 + y21 + 4y23 + 4y1y3 với Q1(y) = y21 + 4y23 + 4y1y3. Bước 2. Biến đổi Q1(y) = y21 + 4y 2 3 + 4y1y3 = (y1 + 2y3) 2 Đổi biến  z1 = y1 +2y3 z2 = y2 z3 = y3 ⇔  y1 = z1 −2z3 y2 = z2 y3 = z3 Vậy Q(x) = z21 − z22 với  x1 = z1 −2z3 x2 = z1 −z2 −2z3 x3 = z3 20 Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Jacobi: - Phương pháp Jacobi áp dụng cho dạng toàn phương có ma trận A thỏa điều kiện D1 = a11 , 0,D2 = ∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣∣ , 0, . . . ,Dn = det(A) , 0. Khi đó, biến đổi theo công thức x1 = y1 +b21y2 +b31y3 + · · · +bn1yn x2 = y2 +b32y3 + · · · +bn2yn ... xn = yn với bij = (−1)i+j Di−1,jDi−1 (j < i); Di−1,j là định thức được tạo thành từ i − 1 dòng đầu và i − 1 cột đầu (sau khi đã bỏ cột thứ j)của ma trận A. Khi đó, ma trận đổi biến là P =  1 b21 . . . bn1 0 1 . . . bn2 ... ... . . . ... 0 0 . . . 1  và dạng chính tắc là : Q = D1y21 + D2 D1 y22 + D3 D2 y23 + · · ·+ Dn Dn−1 y2n. 21 Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Ví dụ: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Q(x) = 2x21 + 3x1x2 + 4x1x3 + x 2 2 + x 2 3 Giải: Ma trận của Q: A =  2 3 2 2 3 2 1 0 2 0 1  Ta có: D1 = 2;D2 = ∣∣∣∣∣ 2 323 2 1 ∣∣∣∣∣ = − 14 ;D3 = det(A) = − 174 Ta tính: b21 = (−1)2+1D1,1D1 = − 32 2 = −3 4 ; b31 = (−1)3+1D2,1D2 = ∣∣∣∣∣ 32 21 0 ∣∣∣∣∣ − 14 = 8 b32 = (−1)3+2D2,2D2 = ∣∣∣∣∣ 2 23 2 0 ∣∣∣∣∣ − 14 = −12 Vậy đổi biến  x1 = y1 − 34y2 + 8y3 x2 = y2 − 12y3 x3 = y3 ta được Q = 2y21 − 18y22 + 17y23 22 Dạng toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác định dấu Định lý (Luật quán tính) Số hệ số dương và hệ số âm trong dạng chính tắc là những đại lượng bất biến, không phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính không suy biến đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. Định nghĩa Dạng toàn phương Q(x) được gọi là: - Xác định dương nếu Q(x) > 0,∀x ∈ Rn và x , 0. - Xác định âm nếu Q(x) < 0,∀x ∈ Rn và x , 0. - Không xác định dấu nếu nó nhận cả giá trị âm và giá trị dương. 23 Dạng toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Dạng toàn phương Q(x) của Rn xác định dương khi và chỉ khi tất cả n hệ số trong dạng chính tắc của nó đều dương. Hệ quả Dạng toàn phương Q(x) của Rn xác định âm khi và chỉ khi tất cả n hệ số trong dạng chính tắc của nó đều âm. Định lý Dạng toàn phương Q(x) của Rn xác định dương khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các giá trị riêng đều dương. Hệ quả - Q(x) xác định âm khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các giá trị đều âm. - Q(x) không xác định dấu khi và chỉ khi ma trận của nó giá trị riêng dương và giá trị riêng âm. 24 Dạng toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester Định lý Sylvester Định lý (Định lý Sylvester) - Dạng toàn phương Q(x) xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của ma trận của nó đều dương, tức là D1 > 0,D2 > 0, . . . ,Dn > 0. - Dạng toàn phương Q(x) xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính cấp chẵn dương, cấp lẻ âm, tức là (−1)kDk > 0,∀k. Ví dụ: Xét tính xác định dấu của dạng toàn phương trong R3: Q(x) = −2x21 − 4x22 − 3x23 + 4x1x2. Giải. Ma trận của Q là A =  −2 2 02 −4 00 0 −3  Ta có các định thức con chính: D1 = −2 < 0,D2 = ∣∣∣∣∣ −2 22 −4 ∣∣∣∣∣ = 4 > 0,D3 = |A| = −12 < 0 Vậy Q xác định âm. 25 Dạng toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester Định lý Sylvester Ví dụ: Xét tính xác định dấu của dạng toàn phương trong R3: Q(x) = 7x21 + 2x 2 2 − x23 + 6x1x3. Giải. Ma trận của Q là A =  7 0 30 2 03 0 −1  Ta có các định thức con chính: D1 = 7 > 0,D2 = ∣∣∣∣∣ 7 00 2 ∣∣∣∣∣ = 14 > 0,D3 = |A| = −32 < 0 Vậy Q không xác định dấu. 26 Dạng toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester Định lý Sylvester Ví dụ: Xét tính xác định dấu của dạng toàn phương trong R3: Q(x) = x21 + 4x 2 2 +mx 2 3 − 2x1x2 + 8x1x3 + 4x2x3. Giải. Ma trận của Q là A =  1 −1 4−1 4 24 2 m  Dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính xác định dương. D1 = 1 > 0,D2 = ∣∣∣∣∣ 1 −1−1 4 ∣∣∣∣∣ = 3 > 0,D3 = |A| = 3(m − 28) > 0⇔ m > 28 27