Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian Vecto

bằng hạng của ma trận 5 Không gian con Định nghĩa Cơ sở và số chiều của không gian con Không gian sinh Không gian nghiệm của HPT tuyến tính thuần nhất 6 Tọa độ trong không gian n-chiều Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở Công thức đổi tọa độ giữa các cơ sở 2 Vectơ n-chiều Định nghĩa Một vectơ n-chiều x là một bộ n số thực có thứ tự x = (x1, x2, . . . , xn), xi ∈ R. Vectơ không được kí hiệu là 0 = (0, 0, . . . , 0). Định nghĩa Cho 2 vectơ x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) x = y⇔ xi = yi,∀i ∈ {1, . . . ,n} x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) kx = (kx1, kx2, . . . , kxn) ; k ∈ R Tổng quát, ta có: ax+ by = (ax1 + by1, ax2 + by2, . . . , axn + byn) Ví dụ: Cho 2 vectơ x = (1,−2, 2), y = (−1,−3, 1), ta có: x+ y = (0,−5, 3), −2x = (−2, 4,−4) 2x − 3y = (2,−4, 4) + (3, 9,−3) = (5, 5, 1) 3 Vectơ n-chiều Tính chất (1) x+ y = y + x Tính chất (2) x+ y + z = (x+ y) + z = x+ (y + z) Tính chất (3) x+ 0 = x Tính chất (4) x+ (−x) = 0 4 Vectơ n-chiều Tính chất (5) k(lx) = (kl)x Tính chất (6) (k+ l)x = kx+ lx Tính chất (7) k(x+ y) = kx+ ky Tính chất (8) 1.x = x 5 Không gian vectơ Định nghĩa (Không gian vectơ n-chiều) Tập hợp các vectơ n-chiều xây dựng trên R được trang bị 2 phép toán trên được gọi là không gian vectơ Rn. Định nghĩa (Không gian Euclide n-chiều) Không gian Euclide Rn là không gian vectơ Rn được trang bị thêm một tích vô hướng của 2 vectơ x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) được định nghĩa: x.y = x1.y1 + x2.y2 + . . .+ xn.yn 6 Không gian vectơ Tích vô hướng Với mọi vectơ x, y, z ∈ Rn, ta có Tính chất (1) x.y = y.x Tính chất (2) x. x ≥ 0 x. x = 0⇔ x = 0 Tính chất (3) (x+ y).z = x.z+ y.z Tính chất (4) x.(ky) = (kx).y = k(x.y) 7 Không gian vectơ Các khái niệm Trong Rn cho x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ta có Định nghĩa Độ dài của x: ||x|| = √x.x = √ x21 + x 2 2 + · · ·+ x2n Định nghĩa Khoảng cách giữa x, y: ||x − y|| = √(x − y).(x − y) = √(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2 Định nghĩa Góc giữa x và y, kí hiệu (x,y): cos(x, y) = x.y ||x||||y|| 8 Không gian vectơ Các khái niệm Định nghĩa (Tính trực giao) x, y trực giao nhau ⇔ x.y = 0 Hệ vectơ {u1, u2, . . . ,um} là hệ trực giao ⇔ ui.uj = 0, ∀i , j ∈ {1, . . . ,m} Ví dụ: Trong R3 cho x = (3,−1, 2), y = (1, 1,m). Xác định m để x trực giao với y. Giải x trực giao với y ⇔ x.y = 0⇔ 3 − 1+ 2m = 0⇔ m = −1 Định nghĩa (Tính trực chuẩn) Hệ vectơ {u1, u2, . . . ,um} là hệ trực chuẩn ⇔ ui.uj = 0 ∧ ||ui|| = 1, ∀i , j ∈ {1, . . . ,m} Ví dụ: Trong R3 cho hệ vectơ {x = (1, 0, 0), y = (0, 1, 0), z = (0, 0, 1)}. Nhận thấy x.y = x.z = y.z = 0 và ||x|| = ||y|| = ||z|| = 1 Vậy: Hệ {x, y, z} là hệ trực chuẩn. 9 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa Trong Rn cho hệ vectơ H = {a1, a2, . . . , am} Định nghĩa Vectơ b được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ H⇔ Tồn tại xj ∈ R, j = 1,m sao cho b = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xmam Ví dụ: Trong R2 cho hệ vectơ H = {a1 = (1, 1), a2 = (1, 0)}. Vectơ b=(2,3) có phải là một tổ hợp tuyến tính của H hay không? Biểu diễn b theo H nếu được. Giải Giả sử b = x1a1 + x2a2, xi ∈ R. ⇔ (2, 3) = x1(1, 1)+x2(1, 0)⇔ (2, 3) = (x1, x1)+(x2, 0)⇔ (2, 3) = (x1+x2, x1) ⇔ { x1 + x2 = 2 x1 = 3 ⇔ { x1 = 3 x2 = −1 ⇔ b = 3a1 − a2 Vậy b là một tổ hợp tuyến tính của H. 10 Tổ hợp tuyến tính Liên hệ giữa tổ hợp tuyến tính với HPT tuyến tính Giả sử aj = (a1j, a2j, . . . , anj), b = (b1, b2, . . . ,bn). Ta kí hiệu Aj =  a1j a2j ... anj  , B =  b1 b2 ... bn  và X =  x1 x2 ... xm  Khi đó b là một tổ hợp tuyến tính của hệ H ⇔ x1a1 + x2a2 + · · ·+ xmam = b có nghiệm ⇔ x1A1 + x2A2 + · · ·+ xmAm = B có nghiệm ⇔ AX = B có nghiệm, với A = (A1A2 . . .Am). 11 Tổ hợp tuyến tính Liên hệ giữa tổ hợp tuyến tính với HPT tuyến tính Ví dụ: Trong R3 cho u = (1,−1, 2), v = (1, 1,−1), w = (−1,−3, 4). Cho biết x = (1,−3, 5) có phải là một tổ hợp tuyến tính của {u,v,w} hay không? Hãy chỉ ra một cách biểu diễn của x theo u, v,w nếu có. Giả sử x = au+ bv + cw, a, b, c ∈ R. ⇔ (1,−3, 5) = (a,−a, 2a) + (b, b,−b) + (−c,−3c, 4c) ⇔ (1,−3, 5) = (a+ b − c,−a+ b − 3c, 2a − b+ 4c) ⇔  a+ b − c = 1 −a+ b − 3c = −3 2a − b+ 4c = 5 (A|B) =  1 1 −1 1−1 1 −3 −32 −1 4 5  −→  1 1 −1 10 2 −4 −20 −3 6 3  −→( 1 1 −1 1 0 1 −2 −1 ) Hệ tương đương { a+ b − c = 1 b − 2c = −1 Chọn c=0 ta được b=-1, a=2. Vậy x = 2u − v chứng tỏ x là một tổ hợp tuyến tính của u,v,w. 12 Tổ hợp tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính Trong Rn cho hệ vectơ H = {a1, a2, . . . , am} Định nghĩa Hệ H là hệ phụ thuộc tuyến tính ⇔ Tồn tại một vectơ aj ∈ H là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. ⇔ Tồn tại xj , 0 : x1a1 + x2a2 + · · ·+ xmam = 0 ⇔ AX=0 có nghiệm không tầm thường với A được định nghĩa ở trên. Ngược lại H là hệ độc lập tuyến tính. 13 Tổ hợp tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính Ví dụ: Hệ H = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1,−1,−1, 1), a3 = (1,−1, 1,−1), a4 = (1, 1,−1,−1)} trong R4 có độc lập tuyến tính hay không? Giải Giả sử x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 = 0, xi ∈ R⇔ AX = 0 A =  1 1 1 1 1 −1 −1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1  −→  1 1 1 1 0 −2 −2 0 0 −2 0 −2 0 0 −2 −2  −→ 1 1 1 1 0 −2 −2 0 0 0 2 −2 0 0 −2 −2  −→  1 1 1 1 0 −2 −2 0 0 0 2 −2 0 0 0 −4  ⇒ Hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường (x1, x2, x3, x4) = (0, 0, 0, 0). Vậy: Hệ H là hệ độc lập tuyến tính. 14 Tổ hợp tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính Ví dụ: Hệ H = {a1 = (−1, 2, 1), a2 = (1, 1,−2), a3 = (0, 3,−1)} trong R3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Nếu hệ phụ thuộc tuyến tính hãy tìm một phương trình biểu diễn sự phụ thuộc đó. Giải Giả sử x1a1 + x2a2 + x3a3 = 0, xi ∈ R⇔ AX = 0 A =  −1 1 02 1 31 −2 −1  −→  −1 1 00 3 30 −1 −1  −→ ( −1 1 0 0 1 1 ) Hệ phương trình tương đương { −x1 + x2 = 0 x2 + x3 = 0 Chọn x2 = 1⇒ x1 = 1, x3 = −1 ⇒ Hệ H là hệ phụ thuộc tuyến tính. Một phương trình biểu diễn sự phụ thuộc đó là a1 + a2 − a3 = 0 15 Tổ hợp tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính Tính chất (1) Hệ có chứa vectơ không là hệ phụ thuộc tuyến tính. Tính chất (2) Hệ có chứa 2 vectơ tỉ lệ là hệ phụ thuộc tuyến tính. Tính chất (3) Một hệ có số vectơ nhiều hơn số chiều luôn là hệ phụ thuộc tuyến tính. Tính chất (4) Hệ vectơ có một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc tuyến tính. Hệ độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó đều độc lập tuyến tính. 16 Hạng của hệ vectơ Định nghĩa Trong Rn cho hệ vectơ H = {a1, a2, . . . , am} Định nghĩa Hạng của H, kí hiệu là rank(H), là số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của hệ. Mọi hệ con có nhiều hơn rankH vectơ đều là hệ phụ thuộc tuyến tính. Hệ có toàn vectơ không được quy ước có hạng bằng 0. Ví dụ: Tìm hạng của hệ vectơ: H = { a1 = (1,−3, 2) , a2 = (0,−4, 0) , a3 = (−1, 2,−4)} . Giải: Ta có: a2 = 2a1 + a3 nên a1, a2, a3 phụ thuộc tuyến tính. Mặt khác a1, a3 độc lập tuyến tính. Vậy rankH = 2 17 Hạng của hệ vectơ Tính chất Tính chất (1) Mọi vectơ của hệ H đều là một tổ hợp tuyến tính của một hệ độc lập tuyến tính có rankH > 0 vectơ. Tính chất (2) Hạng của hệ vectơ không đổi nếu ta thêm vào hệ một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ của hệ. Tính chất (3) Hạng của hệ vectơ không đổi nếu ta bớt đi một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại của hệ. Tính chất (4) Trong Rn cho 2 hệ H = {a1, a2, . . . , am}, F = {b1, b2, . . . ,bk}. Nếu aj là một tổ hợp tuyến tính của hệ F (∀j ∈ {1, . . . ,m}) thì rankH ≤ rankF. 18 Hạng của hệ vectơ Tìm hạng của hệ vectơ bằng hạng của ma trận Định lý Cho A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... . . . ... am1 am2 . . . amn  Khi đó hạng của A bằng hạng của hệ vectơ dòng/cột của A. Nghĩa là gọi D = {(a11, a12, . . . , a1n), (a21, a22, . . . , a2n), . . . , (am1, am2, . . . , amn)} và C = {(a11, a21, . . . , am1), (a12, a22, . . . , am2), . . . , (a1n, a2n, . . . , amn)} thì rankA=rankD=rankC. Vì vậy, khi ta cần tìm hạng của một hệ vec tơ ta tìm hạng của ma trận các dòng/cột được lập từ những vectơ này. Ví dụ: Trong R4 cho H = {u = (1,−2, 1, 0), v = (2, 3, 2,−1), w = (3, 1, 3,−1)}. Tìm rankH. Giải Ta có A =  1 −2 1 02 3 2 −13 1 3 −1  −→  1 −2 1 00 7 0 −10 7 0 −1  −→  1 −2 1 00 7 0 −10 0 0 0  = B Vậy rankH = rankA = rankB = 2. 19 Hạng của hệ vectơ Tìm hạng của hệ vectơ bằng hạng của ma trận Tính chất (1) Hạng của hệ bằng số vectơ của hệ ⇔ Hệ độc lập tuyến tính. Hạng của hệ nhỏ hơn số vectơ của hệ ⇔ Hệ phụ thuộc tuyến tính. Tính chất (2) Cho hệ H có số vectơ bằng số chiều (m=n): rankH = n⇔ detA , 0 rankH < n⇔ detA = 0 20 Không gian con Định nghĩa Định nghĩa Xét L ⊆ Rn. L là một không gian con của Rn ⇔  L , ∅ ∀x, y ∈ L⇒ x+ y ∈ L ∀x ∈ L, k ∈ R⇒ kx ∈ L ⇔ { 0 ∈ L ∀x, y ∈ L, k ∈ R⇒ x+ ky ∈ L Lưu ý: Nếu L là một không gian con của Rn thì 0 ∈ L. Do đó, nếu 0 < L thì L không phải là không gian con của Rn. Ví dụ: Cho biết tập nào sau đây là một không gian con của R2. 1 L1 = {x ∈ R2 : x = (a, 2+ 3a), a ∈ R} 2 L2 = {x ∈ R2 : x = (a, 3a), a ∈ R} Giải 1 Nhận thấy 0 = (0, 0) < L1. Do đó L1 không phải là không gian con của R2. 2 Ta có 0 = (0, 0) ∈ L2. ∀x, y ∈ L2, k ∈ R. Giả sử x = (a, 3a), y = (b, 3b) ta có x+ ky = (a+ kb, 3a+ 3kb) ∈ L2 ⇒ L2 là một không gian con của R2. 21 Không gian con Cơ sở và số chiều của không gian con Định nghĩa Hệ H = {a1, a2, . . . , am} là một cơ sở của không gian L của Rn ⇔ { H là hệ độc lập tuyến tính Mọi vectơ trong L đều là một tổ hợp tuyến tính của H Lưu ý: 1 Số vectơ trong một cơ sở của L không vượt quá n. 2 Số vectơ trong các cơ sở của L luôn bằng nhau. Định nghĩa Số vectơ trong một cơ sở của không gian L được gọi là số chiều của L, kí hiệu là dimL. Tính chất (1) Nếu dimL = r thì mọi hệ có r vectơ độc lập tuyến tính của L đều là cơ sở của L. 22 Không gian con Cơ sở và số chiều của không gian con Tính chất (2) Trong Rn, mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của Rn. Hệ En = {e1, e2, . . . , en} với e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0),. . ., en = (0, 0, . . . , 1) được gọi là cơ sở chính tắc của Rn. Tính chất (3) Mọi vectơ của L đều là một tổ hợp tuyến tính duy nhất qua các vectơ trong mỗi cơ sở của L. Ví dụ: L2 = {x ∈ R2 : x = (a, 3a), a ∈ R} là một không gian con của R2. Ta có ∀x ∈ L2 : x = (a, 3a) = a(1, 3). Vậy mọi vectơ x ∈ L2 đều là tổ hợp tuyến tính của hệ {(1,3)} độc lập tuyến tính nên {(1,3)} là một cơ sở của L2 và dimL2 = 1. Ví dụ:Cho biết L = {x ∈ R2 : x = (a+ b, 2a − b), a, b ∈ R} là một không gian con của R2. Tìm một cơ sở của L và xác định dimL. Ta có ∀x ∈ L : x = (a+ b, 2a − b) = a(1, 2) + b(1,−1). suy ra mọi vectơ x ∈ L đều là tổ hợp tuyến tính của hệ {(1,2),(1,-1)} độc lập tuyến tính. Vậy {(1,2),(1,-1)} là một cơ sở của L và dimL = 2. 23 Không gian con Không gian sinh Định nghĩa (Không gian sinh) Trong Rn cho hệ H = {a1, a2, . . . , am}. Không gian sinh bởi H, được kí hiệu là Span(H): SpanH = {x ∈ Rn : x = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xmam, xi ∈ R} Định lý SpanH là một không gian con của Rn có dim(SpanH) = rankH. Bài toán 1: Trong Rn cho hệ H = {a1, a2, . . . , am}. Hãy tìm một cơ sở và số chiều của SpanH. Phương pháp giải 1 Lập ma trận A có hệ vectơ dòng là H. 2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng biến đổi A về dạng bậc thang theo dòng B. 3 Hệ các vectơ dòng khác không của B là một cơ sở của SpanH. 24 Không gian con Không gian sinh Ví dụ: Trong R4 cho hệ H = {a1 = (−2, 4,−2,−4), a2 = (2,−5,−3, 1), a3 = (−1, 3, 4, 1)}. Hãy tìm một cơ sở và số chiều của SpanH. Xét A =  a3a2a1  =  −1 3 4 12 −5 −3 1−2 4 −2 −4  −→  −1 3 4 12 −5 −3 10 −1 −5 −3  −→  −1 3 4 10 1 5 30 −1 −5 −3  −→  −1 3 4 10 1 5 30 0 0 0  Vậy: Một cơ sở của SpanH là {(−1, 3, 4, 1), (0, 1, 5, 3)} và dimSpanH=2. 25 Không gian con Không gian sinh Bài toán 2: Trong Rn cho hệ H = {a1, a2, . . . , am}. Tìm điều kiện để x ∈ SpanH. Phương pháp giải 1 x ∈ SpanH⇔ x là một tổ hợp tuyến tính của H. 2 Nếu ta có F = {b1, b2, . . . ,bk} là một cơ sở của SpanH, khi đó x ∈ SpanH⇔ x là một tổ hợp tuyến tính của F. Ví dụ: Trong R3 cho hệ H = {a1 = (1, 2,−4), a2 = (2,−1, 1), a3 = (−3,−1, 3)}. Hãy tìm m để b = (−1, 3,m) ∈ SpanH . Xét A = ( a1 a2 a3 b ) = (A|B) =  1 2 −3 −12 −1 −1 3−4 1 3 m  −→  1 2 −3 −10 −5 5 50 9 −9 m − 4  −→  1 2 −3 −10 −1 1 10 9 −9 m − 4  −→  1 2 −3 −10 −1 1 10 0 0 m+ 5  Ta có rankA = 2. Nên b ∈ SpanH⇔ rankA = 2⇔ m+ 5 = 0⇔ m = −5. 26 Không gian con Không gian nghiệm của HPT tuyến tính thuần nhất Cho hpttt thuần nhất AX = 0. Không gian nghiệm của hệ là L = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : AX = 0} Định lý rankA = r⇔ dimL = n − r Định nghĩa Mỗi cơ sở của không gian nghiệm L được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ. 27 Không gian con Không gian nghiệm của HPT tuyến tính thuần nhất Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của hệ x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0 2x1 + 4x2 − 3x3 = 0 x1 + 2x2 + x3 + 5x4 = 0 Ta có A =  1 2 −1 12 4 −3 01 2 1 5  −→  1 2 −1 10 0 −1 −20 0 2 4  −→ ( 1 2 −1 1 0 0 1 2 ) −→( 1 2 0 3 0 0 1 2 ) Hệ ⇔ { x1 + 2x2 + 3x4 = 0 x3 + 2x4 = 0 ⇔ { x1 = −2x2 − 3x4 x3 = −2x4 Nghiệm tổng quát của hệ là (−2a − 3b, a,−2b, b), a, b ∈ R Không gian nghiệm L = {x = (−2a − 3b, a,−2b, b), a, b ∈ R} = {x = a(−2, 1, 0, 0) + b(−3, 0,−2, 1), a, b ∈ R} ⇒ L = Span{(−2, 1, 0, 0), (−3, 0,−2, 1)}. Vậy một hệ nghiệm cơ bản của hệ là {(−2, 1, 0, 0), (−3, 0,−2, 1)}. 28 Tọa độ trong không gian n-chiều Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở Định nghĩa Cho H = {a1, a2, . . . , an} là một cơ sở của Rn (x1, x2, . . . , xn) được gọi là tọa độ của x ∈ Rn đối với cơ sở H ⇔ x = x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan. Kí hiệu: x|H = (x1, x2, . . . , xn). Ta kí hiệu (x|H) = ( x1 x2 . . . xn ) và (x|H)T =  x1 x2 ... xn  Trong Rn : x = (x1, x2, . . . , xn) = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen ⇒ x|En = (x1, x2, . . . , xn) 29 Tọa độ trong không gian n-chiều Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở Ví dụ: a. Chứng tỏ H = {a1 = (1, 2, 1), a2 = (1, 3, 1), a3 = (2, 3,−1)} là một cơ sở của R3. b. Cho x = (−2, 1, 7). Tìm x|H. Giải a. Xét A =  a1a2a3  =  1 2 11 3 12 3 −1  ⇒ |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 1 1 3 1 2 3 −1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = − 3+ 4+ 3 − 6+ 2 − 3 = −3 , 0 Vậy: H là hệ độc lập tuyến tính⇒ đpcm. b. Giả sử x = x1a1 + x2a2 + x3a3. Từ đó ta được hệ  x1 + x2 + 2x3 = −2 2x1 + 3x2 + 3x3 = 1 x1 + x2 − x3 = 7 Giải hệ này ta được (x1, x2, x3) = (2, 2,−3) Vậy x|H = (2, 2,−3). 30 Tọa độ trong không gian n-chiều Công thức đổi tọa độ giữa các cơ sở Định nghĩa (Ma trận chuyển) Cho A = {a1, a2, . . . , an} và B = {b1, b2, . . . ,bn} là hai cơ sở của Rn Ma trận chuyển cơ sở từ A sang B được kí hiệu là PBA, là ma trận thỏa (x|A)T = PBA.(x|B)T, ∀x ∈ Rn. Định lý (Cách xác định ma trận chuyển) Giả sử bi|A = (b1i, b2i, . . . ,bni). Khi đó PBA = (b1|A b2|A · · · bn|A). Tính chất Nếu P là ma trận chuyển cơ sở từ A sang B thì 1 P khả nghịch. 2 P−1 là ma trận chuyển cơ sở từ B sang A. 31 Tọa độ trong không gian n-chiều Công thức đổi tọa độ giữa các cơ sở Ví dụ: Cho E3, A = {a1 = (1, 1,−1), a2 = (0, 1, 2), a3 = (0, 0, 1)} và B = {b1 = (1,−1, 1), b2 = (2, 3, 1), b3 = (1, 2, 1)} là các cơ sở của R3. a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E3 sang A và ngược lại. b. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ A sang B. c. Cho biết x|B = (−2, 1, 3). Hãy xác định x|A và x|E3 . Giải a. Ta có a1|E3 = (1, 1,−1), a2|E3 = (0, 1, 2), a3|E3 = (0, 0, 1). Nên PAE3 =  1 0 01 1 0−1 2 1  = P Từ đó ta được PE3 A = P−1 =  1 0 0−1 1 03 −2 1  32 Tọa độ trong không gian n-chiều Công thức đổi tọa độ giữa các cơ sở b. Giả sử b1 = x1a1 + x2a2 + x3a3 ⇔  x1 = 1 x1 + x2 = −1 −x1 + 2x2 + x3 = 1 ⇔  x1 = 1 x2 = −2 x3 = 6 ⇒ b1|A = (1,−2, 6) Tương tự ta được b2|A = (2, 1, 1), b3|A = (1, 1, 0) Vậy ma trận chuyển cơ sở từ A sang B là PBA =  1 2 1−2 1 16 1 0  c. Ta có x|B = (−2, 1, 3). Mà (x|A)T = PBA.(x|B)T ⇒ (x|A)T =  1 2 1−2 1 16 1 0  .  −213  =  38−11  Vậy x|A = (3, 8,−11) Tương tự ta được (x|E3)T = PAE3 .(x|A)T =  1 0 01 1 0−1 2 1  .  38−11  =  3112 . Vậy x|E3 = (3, 11, 2) 33