Bài giảng Cơ học chất lưu - Chương 3: Động học chất lưu - Phan Văn Huấn

các phần tử chất lưu so với hệ trục chọn trước. Luật chuyển động của phần tử chất lưu được xác định bởi các phương trình: Chuyển động của chất lưu có thể mơ tả bằng hai phương pháp: phương pháp Lagrange và phương pháp Euler I. Hai phương pháp mơ tả chuyển động của lưu chất1). Phương pháp Lagrange Trong phương pháp Lagrage , các yếu tố chuyển động chỉ phụ thuộc vào thời gian, VD: u = at2 +bI. Hai phương pháp mơ tả chuyển động của lưu chất (tt)1). Phương pháp Lagrange: Dưới dạng tường minh chuyển động của thể tích lưu chất được mơ tả bởi vị trí của các phần tử theo thời gian của thể tích: Ưu điểm: mơ tả chuyển động một cách chi tiết. Khuyết điểm: số lượng phương trình phải giải quá lớn (3n); khơng thể mơ tả cùng một lúc quỹ đạo của nhiều phần tử. Khả năng áp dụng: phịng thí nghiệm. I. Hai phương pháp mơ tả chuyển động của lưu chất (tt)2). Phương pháp Euler:  Trong trường hợp tởng quát, người ta thường nghiên cứu chuyển đợng của chất lưu bằng phương pháp Ơle. Chuyển động của thể tích lưu chất được quan niệm là trường vận tốc và được mơ tả bởi một hàm vận tốc liên tục theo khơng gian và thời gian:Ưu điểm: chỉ cĩ 3 phương trình.Khuyết điểm: khơng cho thấy rõ cấu trúc của chuyển động.Khả năng áp dụng: tính tốn.Gia tớc Quỹ đạoI. Hai phương pháp mơ tả chuyển động của lưu chất (tt)Việt namTrung quốc2). Phương pháp Euler: Chuyển động của thể tích lưu chất được quan niệm là trường vận tốcI. Hai phương pháp mơ tả chuyển động của lưu chất (tt)  Các phương trình có biến thời gian gọi là chuyển đợng khơng dừng. Các phương trình khơng có biến thời gian (t = 0) gọi là chuyển đợng dừng. Phương pháp Ơle cho ta xác định đường dòng với phương trình vi phân (phương trình đường dịng), như sau:2). Phương pháp Euler: Trong phương pháp Euler chuyển động của thể tích lưu chất được quan niệm là trường vận tốc (dịng lưu chất)I. Hai phương pháp mơ tả chuyển động của lưu chất (tt) Chuyển đợng của chất lưu cĩ các thành phần vận tớc: Bài tập áp dụng Thiết lập phương trình đường dịng?I. Hai phương pháp mơ tả chuyển động của lưu chất (tt)Bài 1: Tìm các thành phần gia tớc chuyển đợng của phần tử chất lưu theo biến sớ Ơle, nếu cho biết các thành phần vận tớc của chúng. Bài 2: Xác đinh gia tớc của phần tử chất lưu đó tại điểm A có tọa đợ A(1;1;1). Giả sử chuyển đợng là dừng và các tọa đợ có đơn vị mét.I. Hai phương pháp mơ tả chuyển động của lưu chất (tt)1). Đường dịng: là các đường cong sao cho mỗi phần tử chất lưu nằm trên đường dịng đều cĩ vec tơ lưu tốc tức thời cĩ phương tiếp tuyến với đường dịng đĩ. suu2). Ống dòng là bề mặt dạng ống tạo bởi vô số các đường dòng cùng đi qua một chu vi khép kín.II. Một số khái niệm thường dùngđường dịngống dịng3). Dịng nguyên tố4). Mặt cắt ướt hay diện tích ướt (A) là mặt cắt ngang dịng chảy sao cho trực giao với các đường dịng và nằm bên trong ống dịng.5). Chu vi ướt (P) là phần chu vi của mặt cắt nơi dịng chảy tiếp xúc với thành rắn (0).6). Bán kính thủy lực (R):là tỉ số giữa diện tích ướt và chu vi ướt:PP Mặt cắt ướt (A) Chu vi ướt (P)II. Một số khái niệm thường dùng (tt)Bài 3: Hình trên: biểu diễn mặt cắt ướt của chất lưu đựng trong một chậu dạng hình hộp chiều cao a, chiều rộng b. Tìm diện tích ướt, chu vi ướt và bán kính thủy lực?II. Một số khái niệm thường dùng7). Lưu lượng (Q) Lưu lượng của dịng chảy là thể tích chất lỏng qua một mặt cắt ướt qua một đơn vị thời gian:8).Vận tốc trung bình của mặt cắtdAAII. Một số khái niệm thường dùngIII. Phương trình Bernoulli Lấy trong chất lưu lý tưởng một ống dịng giới hạn bởi hai diện tích S1 và S2 vuơng gĩc với các đường dịng (hình vẽ)Gọi u1 và u2 là vận tốc chảy của chất lưu trên diện tích S1 và S2 tương ứng.  Đới với chất lỏng lí tưởng, trong trường hợp chuyển đợng dừng, ta có phương trình Bernoulli :Áp suất đợngu1uu2  Phương trình Bernoulli biểu diễn định luật bảo toàn năng lượng, nghĩa là tởng thế năng, đợng năng là mợt đại lượng khơng đởi. Phương trình Bernoulli Thế năng Đợng năngIII. Phương trình Bernoulli (tt) Chú ý: Trường hợp chuyển động cĩ thế phương trình Bernouli áp dụng cho 2 điểm bất kì 1 và 2 được viết: IV. Phân loại chuyển động1). Theo ma sát nhớt + Chuyển động của chất lỏng lý tưởng khơng ma sát ( = 0).+ Chuyển động của chất lỏng thực cĩ ma sát(  0).2). Theo khối lượng riêng: chuyển động của lưu chất không nén được (= const) - nén được (  const)3). Theo thời gian: chuyển động ổn định- không ổn định 4). Theo không gian: chuyển động đều – khồng đều, một chiều, 2 chiều, 3 chiều.5). Theo trạng thái chảy:+ Chảy tầng: là trạng thái chảy mà ở đĩ các phần tử lưu chất chuyển động trượt trên nhau thành từng tầng, từng lớp, khơng xáo trộn lẫn nhau.+ Chảy rối: là trạng thái chảy mà ở đĩ các phần tử lưu chất chuyển động hỗn loạn, các lớp lưu chất xáo trộn vào nhau. Thí nghiệm ReynoldsKhi Re 2320 thì chất lỏng chảy rối.Hệ số Reynolds IV. Phân loại chuyển động (tt)V. Gia tốc tồn phần của phần tử lưu chấtXét phần tử lưu chất chuyển động trên quỹ đạo của nĩ (hình vẽ)+ Theo Lagrange, gia tốc của phần tử là:sQuỹ đạo+ Theo Euler, vận tốc là hàm theo khơng gian và thời gian  vận tốc u được tính theo u0 bằng chuỗi Taylor:sQuỹ đạoThay vào biểu thức giới hạn, ta cĩvà thực hiện phép tính giới hạn:V. Gia tốc tồn phần của phần tử lưu chất (tt)Gia tốc cục bộ Các thành phần gia tớc trong hệ Oxyz Gia tốc đối lưu V. Gia tốc tồn phần của phần tử lưu chất (tt)Vận tốc chuyển động tịnh tiến Trong hệ trục toạ độ O(x,y,z), xét vận tốc của hai điểm M(x,y,z) vàM1 (x+dx,y+dy,z+dz), vì hai điểm rất sát nhau, nên ta cĩ:VI. Phân tích chuyển động của lưu chấtVận tốc biến dạng dàiVận tốc biến dạng gĩc và vận tốc quay Định lý HemholtzChuyển động của lưu chất1).Tịnh tiến2). Quay3). Biến dạngVận tốc quay Biến dạng gĩcBiến dạng dàiSuất biến dạng gĩc: Suất biến dạng dài: Trong hệ OxyzVI. Phân tích chuyển động của lưu chất (tt)Suất biến dạng gĩc Suất biến dạng dài Trong hệ OxyzVI. Phân tích chuyển động của lưu chất (tt) Vector vận tốc quay trong hệ Oxyz:  chuyển động thế (khơng quay) chuyển động quay. Phương trình đường xoáy: VI. Phân tích chuyển động của lưu chất (tt)Bài 4: Cho vector vận tốc gồm 3 thành phần:ux = x2 + y2 + z2 ; uy = xy + yz + z2 ; uz = -3xz + z2/2 + 4.Cho biết x = y = z =1; Xem xét đó là chuyển đợng gì?Tìm vector vận tốc quay? VII. Phương pháp thể tích kiểm sốt và đạo hàm của một tích phân khối1). Thể tích kiểm sốt và đại lượng nghiên cứu Xét thể tích W trong khơng gian lưu chất chuyển động. W cĩ diện tích bao quanh là A. Ta nghiên cứu đại lượng X nào đĩ của dịng lưu chất chuyển động qua khơng gian này. Đại lượngX của lưu chất trong khơng gian W được tính bằng: W: thể tích kiểm sốtX : Đại lượng cần nghiên cứuk: Đại lượng đơn vị ( đại lượng X trên 1 đơn vị khối lượng)Ví dụ: X là khối lượng thì k=1 và:X là động lượng thì k = và: X là động năng thì k = u2/2 và: VII. Phương pháp thể tích kiểm sốt và đạo hàm của một tích phân khối (tt)2). Định lí vận tải Reynolds-p. pháp thể tích kiểm sốtVII. Phương pháp thể tích kiểm sốt và đạo hàm của một tích phân khối (tt)Chứng minh:+ Tại t: lưu chất vào chiếm đầy thể tích kiểm sốt W.+ Tại t+Δt: lưu chất từ W chuyển động đến và chiếm khoảng khơng gian W1.Diện tích S1Diện tích S2Nghiên cứu sự biến thiên của đại lượng X theo thời gian khi dịng chảy qua W2). Định lí vận tải Reynolds-phương pháp thể tích kiểm sốtVII. Phương pháp thể tích kiểm sốt và đạo hàm của một tích phân khối (tt)+ Tại t: lưu chất vào chiếm đầy thể tích kiểm sốt W.+ Tại t+Δt: lưu chất từ W chuyển động đến và chiếm khoảng khơng gian W1.+ Gọi S1 là diện tích bao quanh thể tích kiểm sốt W, S2 là diện tích bao quanh thể tích W1, B là phần giao của W và W1, A là phần bù của W, C là phần bù của W1Diện tích S1Diện tích S2Nghiên cứu sự biến thiên của đại lượng X theo thời gian khi dịng chảy qua WVII. Phương pháp thể tích kiểm sốt và đạo hàm của một tích phân khối (tt)Ta cĩ:1. Phương trình liên tục.X là khối lượng: theo định luật bảo tồn khối lượng: VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm sốtBiến đổi GaussHayDạng vi phân phương trình liên tụca). Nếu  = const. Phương trình vi phân liên tục của chất lưu khơng nén được:VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm sốt (tt)b). Đối với dịng nguyên tố chuyển động ổn định, phương trình liên tục sẽ là:1. Phương trình liên tục.c). Đối với tồn dịng chuyển động ổn định (cĩ một m/c vào, 1 m/c ra)→ phương trình liên tục cho tồn dịng lưu chất chuyển động ổn định dạng khối lượng:2211SnA2A1un=0M1: khối lượng lưu chất vào mặt cắt A1 trong 1 đơn vị thời gian.M2: khối lượng lưu chất vào mặt cắt A1 trong 1 đơn vị thời gian.VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm sốt (tt)d). Đối với tồn dịng chuyển động ổn định (cĩ một m/c vào, 1 m/c ra), lưu chấtkhơng nén được:→ phương trình liên tục cho tồn dịng lưu chất khơng nén được chuyển động ổn định:e).Trong trường hợp dịng chảy cĩ nhiều mặt cắt vào và ra, c. động ổn định, lưu chất khơng nén được, tại một nút, ta cĩ: → phương trình liên tục tại một nút cho tồn dịng lưu chất khơng nén được chuyển động ổn định:VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm sốt (tt)2). Phương trình năng lượngKhi X là năng lượng E của một dịng chảy cĩ khối lượng m, E bao gồm nội năng, động năng và thế năng (thế năng bao gồm vị năng lẫn áp năng), ta cĩ:X = E = Eu + ½ mu2 + mgZ với Z = z + p/Như vậy, năng lượng của một đơn vị khối lượng chất lưu k là: trong đĩ: eu là nội năng của một đơn vị khối lượng, ½ u2 là động năng của một đơn vị khối lượng, gz là vị năng của một đơn vị khối lượng, p/ là áp năng của một đơn vị khối lượng.VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm sốt (tt)Định luật I Nhiệt động lực học: số gia năng lượng được truyền vào chất lỏng trong một đơn vị thời gian (dE/dt) bằng suất biến đổi trong một đơn vị thời gian của nhiệt lượng (dQ/dt) truyền vào khối chất lỏng đang xét, trừ đi suất biến đổi cơng (dW/dt) trong một đơn vị thời gian của khối chất lỏng đĩ thực hiên đối với mơi trường ngồi (ví dụ cơng của lực ma sát): Từ phương trình của định luật I nhiệt động học, dùng phương pháp thể tích kiểm sốt ta sẽ thu được dạng tổng quát của phương trình năng lượng là: VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm sốt (tt)3). Phương trình động lượngKhi X là động lượng thì k = u và: Định lý biến thiên động lượng: biến thiên động lượng của chất lưu qua thể tích W (được bao quanh bởi diện tích S) trong một đơn vị thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên khối chất lưu đĩ: Dùng biểu thức của định lý vận tải Reynolds Ta thu được dạng tổng quát của phương trình động lượng: VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm sốt (tt) Chuyển đợng của chất lỏng lí tưởng khơng chịu nén được cho trước bằng các thành phần vận tớc:Tìm lưu lượng Q đi qua mặt kín tứ diện vuơng góc có đỉnh ở gớc tọa đợ OABC. Bài 5: Hướng dẫn giải:Vì :Nên ta phải tìm:Thay (2) vào (1) ta có: Bài 6:Tại điểm E của bình chứa có đợ sâu 10m, nới mợt ớng dài có miệng phun ở đợ sâu 30m (hình vẽ) so với mặt nước trong bình chứa. Ớng có đường kính 8cm, đầu ớng có lắp mợt vòi phun T có đường kính miệng phun d=4cm với hệ sớ lưu lượng là 1. 1. Xác định vận tớc vT của dòng nước ra khỏi vòi.2. Tính lưu lượng của nó.3. Xác định áp suất tĩnh tại các điểm E và S là điểm ở trong vòi phun. Giả thiết bỏ qua tởn thất và cho g = 10m/s2. Bài tập tự giảiThế vận tớc của dòng phẳng chất lỏng lí tưởng có dạng :  = x2 – y2. Xác định đợ chênh áp suất tại hai điểm A (2;1) và B(4;5), nếu bỏ qua lực khới và cho trọng lượng riêng chất lỏng là  = 103 kg/m3; cho g = 9,81m/s2. Thế vận tớc của dòng phẳng chất lỏng lí tưởng có dạng :  = x2 – y2. Xác định đợ chênh áp suất tại hai điểm A (2;1) và B(4;5), nếu bỏ qua lực khới và cho trọng lượng riêng chất lỏng là =103 kg/m3; cho g=9,81m/s2. Bài 1: Tìm phương trình đường dòng và quỹ đạo của các phần tử chất lỏng, nếu biết các thành phần vận tớc của nó là. Bài 2: Bài 3Tìm đường dịng và quỹ đạo chuyển động của các phần tử chất lưu khơng nén, nếu biết các thành phần vận tốc của chúng:Trong đĩ =const Các thành phần vận tốc của một phần tử chất lưu là:Bài 4:Xác định phương trình đường dịng đi qua A(2,4,-6). Bài 5:Các thành phần vận tớc của nguyên tớ chất lỏng là :Tìm biểu thức thành phần vận tớc uz chất lỏng khơng chịu nén và chuyển đợng dừng. Cho biết: tại gớc tọa đợ vận tớc các phần tử chất lỏng Biết các thành phần vận tớc các phân tử chất lỏng chuyển đợng dừng. Bài 6:Tìm vector vận tốc quay? Cho biết x = y = z =1, xem xét đó là chuyển đợng gì? Tìm phương trình các đường xoáy. Cho biết các thành phần vận tớc các phân tử chất lỏng: Bài 7: Xem xét đó là chuyển đợng gì? Tìm phương trình các đường xoáy. Cho biết các thành phần vận tớc các phân tử chất lỏng: Bài 8:Xem xét đó là chuyển đợng gì? Tìm vector vận tốc quay.Bài 9: Chuyển động cĩ vector vận tốc:ux = ay + by2 ; uy = uz =0; Với a, b là hằng sốa. Chuyển động cĩ quay khơng?b. Xác định a, b để khơng cĩ biến dạng gĩc.